高等工程数学 —— 第四章（1）线性方程组的直接解法与广义逆矩阵求解矛盾方程组

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高等工程数学 —— 第四章（1）线性方程组的直接解法与广义逆矩阵求解矛盾方程组
- 线性方程组的直接解法
- - Gauss消去法
  - 列主元法
  - 三角分解法
  - - Doolittle方法
    - Cholesky分解（改进平方根法）
    - 追赶法
- 广义逆矩阵求解矛盾方程组

线性方程组的直接解法

Gauss消去法

简单而言就是通过初等行变换将增广矩阵转换为上三角矩阵或者下三角矩阵。然后先解出来只有一位未知量的式子，再不断的代入求解就行。

例：
运用Gauss消去法求解下面线性方程组

{x1+23x2+13x3=2920x1+x2+1120x3=223x1+13x2+x3=2\begin{cases} x_1+\frac{2}{3}x_2+\frac{1}{3}x_3 = 2 \\ \frac{9}{20}x_1+x_2+\frac{11}{20}x_3 = 2 \\ \frac{2}{3}x_1+\frac{1}{3}x_2+x_3 = 2\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1+32x2+31x3=2209x1+x2+2011x3=232x1+31x2+x3=2

通过方程组我们可以得到增广矩阵如下：

(123132920111202231312)\begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 2 \\ \frac{9}{20} & 1 & \frac{11}{20} & 2 \\ \frac{2}{3} &\frac{1}{3} & 1 & 2\\ \end{pmatrix} ⎝⎛120932321313120111222⎠⎞

我们对增广矩阵进行初等行变换后得上三角矩阵（这里化作下三角矩阵也是一样的）为：

(12313207102511100053635363)\begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 2 \\ 0 & \frac{7}{10} & \frac{2}{5} & \frac{11}{10} \\ 0 &0 & \frac{53}{63} & \frac{53}{63} \\ \end{pmatrix} ⎝⎛10032107031526353210116353⎠⎞

将增广矩阵改写为方程组为：
{x1+23x2+13x3=2710x2+25x3=11105363x3=5363\begin{cases} x_1+\frac{2}{3}x_2+\frac{1}{3}x_3 = 2 \\ \frac{7}{10}x_2+\frac{2}{5}x_3 = \frac{11}{10} \\ \frac{53}{63} x_3 = \frac{53}{63} \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1+32x2+31x3=2107x2+52x3=10116353x3=6353

对于这个方程，我们很容求解：
{x1=1x2=1x3=1\begin{cases} x_1= 1 \\ x_2= 1\\ x_3 = 1 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1=1x2=1x3=1

但是上述方法有个bug。
为了解决这个问题，我们可以通过行变换选取最大列主元素。

列主元法

其实就是多了一个让最大列元素到对角线位置的过程。

三角分解法

Doolittle方法

其实就是先对xxx的系数矩阵AAA进行Doolittle分解得下三角矩阵LLL和上三角矩阵RRR.

看道例题就会了：

Cholesky分解（改进平方根法）

正常的Cholesky分解是得到A=LLHA = LL^HA=LLH。但是在对角线元素处需要开平方根，这就使得在计算机中的运行比较慢。所以我们对该方法进行了改进，如下：

可见列元素的值不用除以对角线元素
行元素正常，需要用列元素除以对应的对角线元素，然后再转置过去。
算的时候可以先照抄第一列元素，然后第一列非对角线元素除以对角线元素后转置得第一行。
之后就算下一个对角线元素，求其他列元素（不用除以对角线元素），除以后转置得行元素。

例：

首先对矩阵AAA进行分解。我习惯先把分解得到的上三角矩阵和下三角矩阵写在一起先，因为这样好对照。

因此得到下三角矩阵(LD)(LD)(LD)为
(100021001−290−3161)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 &-2 & 9 & 0 \\ -3 &1 & 6 & 1 \\ \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎛121−301−2100960001⎠⎟⎟⎞

上三角矩阵LHL^HLH为

(12−1−301−21001230001)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 &0 &0 & 1 \\ \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎛10002100−1−210−31321⎠⎟⎟⎞

根据LDLHx=bLDL^Hx = bLDLHx=b可得{(LD)y=bLHx=y\begin{cases} (LD)y = b \\ L^Hx = y \end{cases} {(LD)y=bLHx=y

解出来得：
{y1=1y2=0y3=53y4=1\begin{cases} y_1 = 1 \\ y_2 = 0\\ y_3 = \frac{5}{3}\\ y_4 = 1 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧y1=1y2=0y3=35y4=1
{x1=1x2=1x3=1x4=1\begin{cases} x_1 = 1 \\ x_2 = 1\\ x_3 = 1\\ x_4 = 1 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x1=1x2=1x3=1x4=1

追赶法

其实我觉得这些都不用看，你就按Doolittle分解来做就好了。我们看道例题。

例：

我们就用最基本的Doolittle分解得到下式：

即：
下三角矩阵为
(1000−121000−231000−341)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 &-\frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{3}{4} & 1 \\ \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎛1−210001−320001−430001⎠⎟⎟⎞
上三角矩阵为
(2−100023−100043−100054)\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{3} & -1 \\ 0 &0 &0 & \frac{5}{4} \\ \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎛2000−132000−134000−145⎠⎟⎟⎞

根据PQx=bPQx = bPQx=b可得{Py=bQx=y\begin{cases} Py = b \\ Qx = y \end{cases} {Py=bQx=y

解出来得：
{y1=1y2=12y3=13y4=54\begin{cases} y_1 = 1 \\ y_2 = \frac{1}{2}\\ y_3 = \frac{1}{3}\\ y_4 = \frac{5}{4} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧y1=1y2=21y3=31y4=45
{x1=1x2=1x3=1x4=1\begin{cases} x_1 = 1 \\ x_2 = 1\\ x_3 = 1\\ x_4 = 1 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x1=1x2=1x3=1x4=1

广义逆矩阵求解矛盾方程组

这一部分怎么说呢，我觉得就掌握下面这个就行了。

例：