第一章 （2）矩阵的谱半径与条件数

谱半径

• 谱半径其实就是最大特征值

• 注意这里谱半径是小于等于矩阵的任意范数的。在求特征值比较麻烦的时候我们就可以用这条性质来估计谱半径的最大值。
• 当矩阵A为正规矩阵时，AH=AA^H = AAH=A，所以ρ(A)=∣∣A∣∣2\rho(A) = ||A||_2ρ(A)=∣∣A∣∣2​。但是要注意谱半径不是矩阵范数，因为他不满足矩阵范数的性质。如下：

例1：

• 估计谱半径其实就是求矩阵范数中最小的。

例2：
例3：

收敛矩阵

• 矩阵A为收敛矩阵的充要条件为ρ(A)<1\rho(A) < 1ρ(A)<1。这里我是这样想的：矩阵的特征值就是某向量在矩阵定义的空间变换后长度的变化倍数。（可以去B站看下线性代数的本质）所以当最大特征值小于1时才收敛。

例：

• 这里A1A_1A1​可以求F范数为1825<1\sqrt\frac{18}{25} < 12518​​<1
• 对于A2A_2A2​发现常用的那几个范数都不小于1，所以我们求他的特征值。对于二维矩阵求特征值不必用∣λE−A∣=0|\lambda E - A| = 0∣λE−A∣=0来构建方程。形如：(abcd)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}(ac​bd​)求特征值只需让求(λ−a)(λ−d)−bc=0(\lambda - a)(\lambda - d) - bc = 0(λ−a)(λ−d)−bc=0的解就好了。

矩阵级数

矩阵幂级数

• 由ρ(A)<∣∣A∣∣\rho(A) < ||A||ρ(A)<∣∣A∣∣可知，若存在∣∣A∣∣<R||A|| < R∣∣A∣∣<R，那么矩阵幂级数同样绝对收敛。

对于收敛半径RRR的求法如下：

例：

• 这里是将ak=ka_k = kak​=k，Ak=15k(2132)kA^k = \frac{1}{5^k} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}^kAk=5k1​(23​12​)k。我们也可以将ak=k5ka_k = \frac{k}{5^k}ak​=5kk​，Ak=(2132)kA^k = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}^kAk=(23​12​)k，这样的话R=5R = 5R=5、∣∣A∣∣F=18||A||_F = \sqrt{18}∣∣A∣∣F​=18​，所以R>∣∣A∣∣F>ρ(A)R > ||A||_F > \rho(A)R>∣∣A∣∣F​>ρ(A)即绝对收敛

矩阵的条件数及应用

• 这里的范数可以是任意同等类型的范数

例：

特殊的：
例：

对于矩阵条件数一个比较重要的推论：


例：

• 条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。
  例：
  
  
  

• 关于记号o，当x →a时，两个无穷小量α(x)、β(x)之间有记号α(x)=o[β(x)]，就是说当x →a时，无穷小量α(x)关于β(x)是高阶无穷小，即当x →a时，α(x)/β(x)→0。

• 关于记号O，就是当x →a时，f(x) / g(x) 等于一个不为0的常数，就记作f(x) = O[g(x)]。

这里感觉取无穷范数更简单一点：

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