文章目录

0 笔记说明
1 书本内容
- 1.1 λ-矩阵及标准型
- 1.2 初等因子与相似条件
- 1.3 矩阵的Jordan标准型
- 1.4 矩阵的有理标准型
2 听课笔记
- 2.1 λ-矩阵及标准型
- 2.2 初等因子与相似条件
- 2.3 矩阵的Jordan标准型
- 2.4 矩阵的有理标准型

0 笔记说明

参考书籍为：

本笔记主要是为了方便自己日后复习。由于未学习LaTeX，我会上传教材图片或者手写图片代替部分公式或内容。博客主要分为两部分：【1 书本内容】与【2 听课笔记】，前者为对教材中重要定理、定义的整理，后者为自己在矩阵上课时的笔记的二次书面整理。根据自身学习需要，我可能会增加必要内容。

本篇博客是关于第二章的内容，下面开始即为正文。

1 书本内容

1.1 λ-矩阵及标准型

1、λ-矩阵：设α_ij(λ)为数域F上的多项式，其中i=1,2,…,m，j=1,2,…,n，则称以α_ij(λ)为元素的m×n矩阵：

为多项式矩阵或λ-矩阵。称多项式α_ij(λ)中最高的次数为A(λ)的次数，i=1,2,…,m，j=1,2,…,n。数字矩阵和特征矩阵λE-A都是λ-矩阵的特例。λ-矩阵的加法、数乘和乘法运算、矩阵的转置与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律。

2、λ-矩阵的行列式：λ-矩阵行列式的性质与数字矩阵相同。一般情况下，λ-矩阵的行列式|A(λ)|是λ的一个多项式。

3、λ-矩阵的秩：如果λ-矩阵A(λ)中有一个r(r≥1)阶子式不为零，而所有r+1阶子式(如果有的话)全为零，则称A(λ)的秩为r，记为rankA(λ)=r。由于A(λ)的行列式及一切子式都是λ的多项式，所以r+1阶子式为零的含义是r+1阶子式恒为零。

4、λ-矩阵的可逆：一个n阶λ-矩阵称为可逆的，如果有一个n阶λ-矩阵B(λ)，满足A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=E，这里E是n阶单位矩阵，则B(λ)称为A(λ)的逆矩阵，记为A^-1(λ)。n阶λ-矩阵A(λ)可逆⇔|A(λ)|是非零常数。n阶λ-矩阵A(λ)的秩为n，不等价于A(λ)可逆，这是与数字矩阵不相同之处。

5、λ-矩阵的初等变换：

（1）矩阵的任意二行(列)互换位置；

（2）非零常数c乘矩阵的某一行(列)；

（3）矩阵的某一行(列)的φ(λ)倍加到另一行(列)上去，其中φ(λ)是λ的一个多项式。

6、λ-矩阵的初等矩阵：对单位矩阵施行一次上述三种类型的初等变换，便得相应的三种λ-矩阵的初等矩阵：

（1）矩阵的任意第i行(列)和第j行(列)互换位置，得到的矩阵为：

（2）非零常数c乘矩阵的第i行(列)，得到的矩阵为：

（3）矩阵的【第i行的φ(λ)倍加到第j行上去】或者【第j列的φ(λ)倍加到第i列上去】，其中φ(λ)是λ的一个多项式，得到的矩阵为：

对m×n阶的λ-矩阵A(λ)作初等行变换，相当于用相应的m阶初等矩阵左乘A(λ)。对A(λ)作初等列变换，相当于用相应的n阶初等矩阵右乘A(λ)。

7、λ-矩阵的等价：如果A(λ)经过有限次的初等变换后变成B(λ)，则称A(λ)与B(λ)等价，记之为A(λ)≌B(λ)。A(λ)≌B(λ)⇔存在两个可逆矩阵P(λ)与Q(λ)，使得B(λ)=P(λ)A(λ)Q(λ)。λ-矩阵的等价关系满足：

（1）自反性：每一个λ-矩阵与自己等价；

（2）对称性：若A(λ)≌B(λ)，则B(λ)≌A(λ)；

（3）传递性：若A(λ)≌B(λ)，B(λ)≌C(λ)，则A(λ)≌C(λ)。

8、Smith标准型：任意一个非零的m×n阶λ-矩阵A(λ)都等价于一个对角形矩阵，即：

其中r≥1，d_i(λ)是首项系数为1的多项式，且：d_i(λ)|d_i+1(λ)，i=1,2,…,r-1。上图中的三个0代表的是零矩阵。上图与A(λ)等价的右面的矩阵称为A(λ)的Smith标准型，d_i(λ)称为A(λ)的不变因子，i=1,2,…,r。λ-矩阵的Smith标准型是唯一的，可以应用初等变换求λ-矩阵的Smith标准型，也可以应用行列式因子求Smith标准型。

9、对A(λ)用初等变换化成Smith标准型时，A(λ)的特点只有三种：

（1）A(λ)的元素中至少有一个非零常数，这属于A(λ)无公因式的情况，这时通过初等变换将非零常数换到最左上角；

（2）A(λ)的元素有公因式，这时通过初等变换将某一个元素化为公因式，然后通过初等变换将其换到最左上角；

（3）A(λ)的所有元素既无非零常数又无公因子，这时通过初等变换将某一个元素化为非零常数，然后通过初等变换将其换到最左上角。

之后通过初等变换将左上角的元素所在的行和列都化为0，然后对右下角的低次阶矩阵进行相同的判断后采取相应操作。注意最终得到的Smith标准型矩阵中的每个不变因子的首项系数均为1，若不变因子为常数则必须是1。

10、m×n阶λ-矩阵A(λ)与B(λ)等价的充要条件：

（1）A(λ)与B(λ)的所有行列式因子都相同；

（2）A(λ)与B(λ)的所有不变因子都相同；

（3）A(λ)与B(λ)的所有初等因子都相同且秩相等。

11、n阶λ-矩阵A(λ)可逆的充要条件：

（1）A(λ)与单位矩阵等价；

（2）A(λ)可以表示成一些初等矩阵的乘积。

1.2 初等因子与相似条件

1、初等因子：λ-矩阵的行列式因子D_k(λ)与不变因子d_k(λ)都是λ的多项式，它们都是由A(λ)的元素a_ij(λ)经过加、减、乘而得到的。在复数域C内，作为多项式的不变因子d_k(λ)总可以分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，令：

因为d_k-1(λ)|d_k(λ)，k=2,…,r，所以k_1j≤k_2j≤…≤k_rj，j=1,2,…,t。这里的λ₁,λ₂,…,λ_t是d_r(λ)的全部相异零点，所以k_r1,k_r2,…,k_rt都是非零常数，但是k_1j≤k_2j≤…≤k_r-1,j中可能有零，其中j=1,2,…,t，而且若k_ij=0，其中j=1,2,…,t，i=1,2,…,r-1，则有k_1j=k_2j=…k_r-1,j=0。将：

中不是常数的因子全体叫做A(λ)的初等因子。举个栗子：

2、准对角形矩阵的初等因子：设λ-矩阵A(λ)如下：

A(λ)为准对角形矩阵，则B_i(λ)的各个初等因子的全体是A(λ)的全部初等因子，其中i=1,2,…,t。

1.3 矩阵的Jordan标准型

1、Jordan标准型：称n_i阶矩阵J_i：

为Jordan块。设J_i为若当块，其中i=1,2,…,s，称准对角矩阵J：

为Jordan标准型。

2、数字矩阵对应的Jordan标准型：设矩阵A∈C^m×n，A的初等因子为：(λ-λ₁)^n₁,(λ-λ₂)^n₂,…,(λ-λ_s)^n_s，则A～J，其中J：

n_i阶矩阵J_i：

称矩阵J为矩阵A的Jordan标准型。若n_i=1，J_i是一阶Jordan块，当矩阵A的Jordan标准型中的Jordan块全是一阶时，J便是对角矩阵，因此可得：数字矩阵A可对角化⇔A的初等因子都是一次因式。

3、数字矩阵A对应的Jordan标准型的三点结论：

（1）每一个Jordan块J_i对应着属于λ_i的一个特征向量，其中λ_i是数字矩阵A的特征值；

（2）对于给定特征值λ_i，其对应Jordan块的个数等于λ_i的几何重复度；

（3）对于给定特征值λ_i，λ_i对应全体Jordan块的阶数之和等于λ_i的代数重复度。

4、关于Jordan标准型，我写了一篇博文——Jordan标准型的由来?为何n阶数字方阵都必有对应的Jordan标准型?怎么求可逆矩阵P?

1.4 矩阵的有理标准型

由于时间问题，省略这一部分，以后用到才会补。

2 听课笔记

2.1 λ-矩阵及标准型

1、数域F上关于λ的一元多项式：n是非负整数，F是一个数域，a₀,a₁,…,a_n∈F，则f(λ)=a_nλⁿ+a_n-1λ^n-1+…+a₁λ+a₀称为数域F上关于λ的一元多项式。如果a_n≠0，则称a_nλⁿ为f(λ)的首项，n称为多项式的次数，记为∂(f(λ))，于是∂(f(λ))=n。如果a₀=a₁=…=a_n=0，称该多项式为零多项式。规定∂(f(λ))=-∞。

2、约定：

（1）F[λ]：是全体多项式组成的集合；

（2）Fⁿ[λ]：是全体次数小于n的多项式组成的集合。

3、多项式整除的定义：f(λ),g(λ)∈F[λ]，如果g(λ)≠0，则存在q(λ),r(λ)∈F[λ]，使得f(λ)=g(λ)q(λ)+r(λ)，其中【r(λ)=0】或者【r(λ)≠0且∂(r(λ))<∂(g(λ))】，q(λ)称为g(λ)除f(λ)的商，r(λ)称为余式。如果r(λ)=0，则称g(λ)整除f(λ)，记为g(λ)|f(λ)。称f(λ)是g(λ)的倍式，g(λ)是f(λ)的因式。因为【∀g(λ)∈F[λ]，均有0=g(λ)·0+0】，所以0是任意多项式的倍式。

4、公因式与公倍式：f(λ),g(λ),d(λ)∈F[λ]，如果d(λ)|f(λ)且d(λ)|g(λ)，则称d(λ)为f(λ)与g(λ)的公因式，其中，最大公因式就是次数最大的公因式，(f(λ),g(λ))表示f(λ)与g(λ)的最大公因式，如果(f(λ),g(λ))=1，则称f(λ)与g(λ)互质；如果f(λ)|d(λ)且g(λ)|d(λ)，则称d(λ)为f(λ)与g(λ)的公倍式，其中，最小公倍式就是次数最小的公倍式。

5、任何多项式均可表示为多个不可约多项式幂次的乘积：f(λ)∈F[λ]，f(λ)=(q₁(λ))^r₁(q₂(λ))^r₂…(q_s(λ))^r_s，其中q_i(λ)为不可约多项式，即q_i(λ)不能表示成两个次数比q_i(λ)低的多项式的乘积。同一个多项式在不同数域下可能是不可约多项式，也可能是可约多项式，如对于f(λ)=λ²+1，当F[λ]=R[λ]时，f(λ)是不可约多项式；当F[λ]=C[λ]时，f(λ)是可约多项式，f(λ)=(λ+i)(λ-i)。关于不可约多项式，有以下结论：

（1）当F[λ]=R[λ]时，不可约多项式只有两种：① 一次的，即aλ+b，其中a≠0，a、b∈R；② 二次的，即aλ²+bλ+c，其中a≠0，b²-4ac<0，a、b、c∈R；

（2）当F[λ]=C[λ]时，不可约多项式只有一种：一次的，即aλ+b，其中a≠0，a、b∈R。

6、λ矩阵可以看作是以数字矩阵为系数的多项式，举个栗子：

7、行列式因子：设A(λ)∈[F[λ]]^m×n，且rank(A(λ))=r，取k=1,2,…,r，从A(λ)中取所有k阶子式，将所有非零的k阶子式的最大的、首项系数为1的公因式D_k(λ)称为k阶行列式因子。等价矩阵有相同的各阶行列式因子，从而有相同的秩。

8、不变因子：设A(λ)∈[F[λ]]^m×n，且rank(A(λ))=r，对于k阶行列式因子D_k(λ)，令：① d₁(λ)=D₁(λ)；② d_k(λ)=D_k(λ)/D_k-1(λ)，其中k=2,3,…,r。称d₁(λ),d₂(λ),…,d_r(λ)为A(λ)的不变因子。当n阶λ-矩阵A(λ)满秩时，|A(λ)|=c·d₁(λ)…d_n(λ)，其中c为非零常数。这表明每个不变因子d_i(λ)都是行列式|A(λ)|的因子，又因为不变因子d_i(λ)是由矩阵A(λ)唯一确定，故d_i(λ)是A(λ)的不变量，这也正是称d_i(λ)为不变因子的原因。

2.2 初等因子与相似条件

1、初等因子：设A(λ)∈[F[λ]]^m×n，且rank(A(λ))=r，对于A(λ)的不变因子，即d₁(λ),d₂(λ),…,d_r(λ)进行质因式分解，则得到初等因子。

2、数字矩阵的各种因子：对于数字矩阵A∈C^n×n，其特征矩阵λⅠ-A为λ矩阵，必有rank(λⅠ-A)=n和|λⅠ-A|≠0，称λⅠ-A的行列式因子、不变因子、初等因子为A的行列式因子、不变因子、初等因子。

3、数字矩阵相似的充要条件：对于数字矩阵A、B∈C^n×n，A～B的充要条件为：

（1）λⅠ-A≌λⅠ-B；

（2）λⅠ-A、λⅠ-B有相同的Smith标准型；

（3）λⅠ-A、λⅠ-B有相同的不变因子；

（4）λⅠ-A、λⅠ-B有相同的行列式因子；

（5）λⅠ-A、λⅠ-B有相同的初等因子。

4、n阶矩阵的Smith标准型：A∈C^n×n，设λⅠ-A的Smith标准型为：

则有：

（1）rank(λⅠ-A)=n，|λⅠ-A|≠0；

（2）d₁(λ)·d₂(λ)·…·d_n(λ)=|λⅠ-A|；

（3）∂(d₁(λ))+∂(d₂(λ))+…+∂(d_n(λ))=n。

2.3 矩阵的Jordan标准型

1、线性变换的特征结构：

矩阵笔记2:矩阵分析(第三版)-史荣昌-第二章:λ-矩阵与矩阵的Jordan标准型相关推荐

矩阵笔记1:矩阵分析(第三版)-史荣昌-第一章:线性空间和线性变换
文章目录 0 笔记说明 1 书本内容 1.1 线性空间 1.2 基与坐标.坐标变换 1.3 线性子空间 1.4 线性映射 1.5 线性映射的值域.核 1.6 线性变换的矩阵与线性变换的运算 1.7 n ...
矩阵笔记4:矩阵分析(第三版)-史荣昌-第四章:矩阵分解
文章目录 0 笔记说明 1 书本内容 1.1 矩阵的满秩分解 1.2 矩阵的正交三角分解(UR.QR分解) 1.3 矩阵的奇异值分解 1.4 矩阵的极分解 1.5 矩阵的谱分解 2 听课笔记 2.1 ...
矩阵笔记3:矩阵分析(第三版)-史荣昌-第三章:内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵
文章目录 0 笔记说明 1 书本内容 1.1 欧氏空间.酉空间 1.2 标准正交基.Schmidt方法 1.3 酉变换.正交变换 1.4 幂等矩阵.正交投影 1.5 对称与反对称变换 1.6 Schu ...
矩阵分析第3版史荣昌课后习题答案
蓝奏云密码:2gh7
读书笔记：汇编语言第三版王爽清华出版社章六章七章八章九章十
第六章包含多个段的程序6.0 概述合法地通过操作系统取得的空间都是安全的操作系统不会让多个程序之间发生空间冲突程序向操作系统获得空间的方法程序加载时分配在程序中定义各种段程序运行时分配通过指令向操作 ...
读书笔记：汇编语言第三版王爽清华出版社章十六章十七章十八
第十六章直接定址表16.1 描述了单位长度的标号地址标号,表征了位置的偏移地址label:数据标号,表征了一段内存空间的物理地址和长度,增强型地址标号段地址,数据标号所在段的关联段寄存器,assum ...
数字图像处理第三版（冈萨雷斯）——第一章绪论
数字图像处理第三版(冈萨雷斯)--第一章绪论一.主要目的二.关于什么是数字图像处理的几个重要概念 2.1 强度或灰度: 2.2 数字图像: 2.3 数字图像处理: 2.4 像素: 2.5 低级.中 ...
读书笔记——《Python编程从入门到实践》第二章
读书笔记--<Python编程从入门到实践>第二章读书笔记--<Python编程从入门到实践>第二章变量如何使用变量如何规范变量命名字符串字符串是什么如何修改字符 ...
算法竞赛入门经典第二版课后习题答案第二章
算法竞赛入门经典第二版课后习题答案第二章习题2-1水仙花数输出100-999中的所有水仙花数.若三位数ABC满足ABC=A^3+B^3+C^3,则称其为水仙花数.例如153=1^3+5^3+3^ ...

矩阵笔记2:矩阵分析(第三版)-史荣昌-第二章:λ-矩阵与矩阵的Jordan标准型