无界函数的极限审敛法

结论证明

lim ⁡ x → a + ( x − a ) p f ( x ) = A 可写成 lim ⁡ x → a + f ( x ) ( x − a ) p = A \lim_{x\to a^+} (x-a)^pf(x)=A可写成 \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{(x-a)^p}=A x→a+lim(x−a)pf(x)=A可写成x→a+lim(x−a)pf(x)=A
然后看下图因为红线在黑线的上方，所以红线与xOy轴围成的面积更大。如果黑线代表的函数是发散的，那红线必然发散；如果红线代表的函数是收敛的，那黑线必然收敛

对于 ∫ a b ( x − a ) − p d x = 1 1 − p ( x − a ) 1 − p ∣ a b \int_{a}^{b}(x-a)^{-p} dx=\frac{1}{1-p}(x-a)^{1-p} |_a^b ∫ab(x−a)−pdx=1−p1(x−a)1−p∣ab
①当 0 < p < 1 0<p<1 0<p<1时， ∫ a b ( x − a ) − p d x \int_{a}^{b}(x-a)^{-p} dx ∫ab(x−a)−pdx收敛，而上述公式里的A当 0 < p < 1 0<p<1 0<p<1时， 0 ≤ A < + ∞ 0 \leq A<+\infty 0≤A<+∞,也就是说A是个有限数。所以 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx也收敛

②当 p ≥ 1 p\geq1 p≥1时， ∫ a b ( x − a ) − p d x \int_{a}^{b}(x-a)^{-p} dx ∫ab(x−a)−pdx发散，而A>0,说明 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx和 ∫ a b ( x − a ) − p d x \int_{a}^{b}(x-a)^{-p} dx ∫ab(x−a)−pdx同数量级大小，或者 ∫ a b ( x − a ) − p d x \int_{a}^{b}(x-a)^{-p} dx ∫ab(x−a)−pdx是比 ∫ a b ( x − a ) − p d x \int_{a}^{b}(x-a)^{-p} dx ∫ab(x−a)−pdx更大的数量级

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