高等数学：第十一章无穷级数（1）常数项技术的概念、性质、审敛法、幂级数

§11.1 常数顶级数的概念和性质

一、级数的定义

若给定一个数列，由它构成的表达式

(1)

称之为常数项无穷级数，简称级数，记作。

亦即

其中第项叫做级数的一般项。

上述级数定义仅仅只是一个形式化的定义，它未明确无限多个数量相加的意义。无限多个数量的相加并不能简单地认为是一项一项地累加起来，因为，这一累加过程是无法完成的。

为给出级数中无限多个数量相加的数学定义，我们引入部分和概念。

作级数(1)的前项之和

(2)

称为级数(1)的部分和。当依次取时，它们构成一个新数列

称此数列为级数(1)的部分和数列。

根据部分和数列(2)是否有极限，我们给出级数(1)收敛与发散的概念。

【定义】当无限增大时，如果级数(1)的部分和数列(2)有极限，即

则称级数(1)收敛，这时极限叫做级数(1)的和，并记作

；

如果部分和数列(2)无极限，则称级数(1)发散。

当级数(1)收敛时，其部分和是级数和的近似值，它们之间的差值

叫做级数的余项。

【注明】由级数定义发现，它对加法的规定是：依数列的序号大小次序进行逐项累加，因此，级数的敛散性与这种加法规定的方式有关。

【著名反例】

(1)、若逐项相加，部分和为

无极限，故级数发散。

(2)、若每两项相加之后再各项相加，有

【例1】讨论等比级数

的敛散性。

解：若，则部分和为

(1)、当时，，故，

等比级数收敛，且和为；

(2)、当时，，从而，

等比级数发散；

(3)、当时，

若，则

不存在。

即当时，等比级数发散。

综合有

【例2】研究下列伸缩型级数的敛散性

1、

2、

解1、

从而

因此，级数1是发散的。

解2、

从而

因此，级数2收敛于。

二、级数的基本性质

【性质一】如果级数

收敛于和，则它的各项同乘以一个常数所得的级数

也收敛，且和为。

【证明】设与的部分和分别为、，则

于是，

故级数收敛且和为。

由关系式，有

如果没有极限，且，那未也没有极限。

因此，我们得到如下重要结论

级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的敛散性不变。

【性质二】设有级数

分别收敛于与，则级数

也收敛，且和为。

【证明】设级数、的部分和分别为、，则部分和

故

这表明级数收敛且其和为。

据性质二，我们可得到几个有用的结论

1、若与收敛，则

(分配律)

(一种结合律)

2、若收敛，而发散，则必发散。

反证：假设收敛，则亦收敛，

即收敛，这与条件相矛盾。

3、若、均发散，那么可能收敛，也可有发散。

如，

发散

又如，

收敛

【性质三】在级数的前面去掉或加上有限项，不会影响级数的敛散性，不过在收敛时，一般来说级数的和是要改变的。

【证明】将级数

的前项去掉，得到新级数

新级数的部分和为

其中是原级数前项的部分和，而是原级数前项之和(它是一个常数)。故当时，与具有相同的敛散性。在收敛时，其收敛的和有关系式

其中，，

类似地，可以证明在级数的前面增加有限项，不会影响级数的敛散性。

【性质四】将收敛级数的某些项加括号之后所成新级数仍收敛于原来的和。

【证明】设有收敛级数

它按照某一规律加括号后所成的级数为

用表示这一新级数的前项之和，它是由原级数中前项之和所构成的()，即有

显然，当时，有，因此

级数加括号与去括号之后所得新级数的敛散性较复杂，下列事实在解题中会常用到。

1、如果级数加括号之后所形成的级数发散，则级数本身也一定发散。

显然，这是性质四的逆否命题。

2、收敛的级数去括号之后所成级数不一定收敛。

例如，级数收敛于零，但去括号之后所得级数

却是发散的。

这一事实也可以反过来陈述：

即使级数加括号之后收敛，它也不一定就收敛。

三、级数收敛的必要条件

对于级数

它的一般项与部分和有关系式

假设该级数收敛于和，则

于是，我们有如下级数收敛的必要条件。

【定理】级数收敛的必要条件是。

必须指出，级数的一般项趋向于零并不是级数收敛的充分条件。

【著名反例】讨论调和级数

的敛散性。

这里，，即调和级数的一般项趋近于零。

考虑由，，，轴所围成的曲边梯形的面积与这个阶梯形面积的关系。

当时，，从而，

因此，调和级数发散到。

§11.2 常数项级数的审敛法

一、正项级数及审敛法

若级数中的各项都是非负的( 即)，则称级数为正项级数。

由于级数的敛散性可归结为正项级数的敛散性问题，因此，正项级数的敛散性判定就显得十分地重要。

1、基本定理

正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界。

【证明】设级数

(1)

是一个正项级数，它的部分和数列

是单调增加的，即。

若数列有上界，据单调有界数列必有极限的准则，级数(1)必收敛于和，且。

反过来，如果级数(1)收敛于和，即，据极限存在的数列必为有界数列性质可知，部分和数列是有界的。

2、基本审敛法

借助正项级数收敛的基本定理，我们来建立一系列具有实用性的正项级数审敛法。

【比较审敛法】给定两个正项级数、

(1)、若，而收敛，则亦收敛；

(2)、若，而发散，则亦发散。

这里，级数称作级数的比较级数。

【证明】(1) 设收敛于，

由，的部分和满足

即单调增加的部分和数列有上界。

据基本定理知，收敛。

(2) 设发散，于是它的部分和

由，有

从而，即发散。

由于级数的每一项同乘以一个非零常数，以及去掉其有限项不会影响它的敛散性，比较审敛法可改写成如下形式

【推论】设为正数，为正整数，、均为正项级数

(1)、若，而收敛，则亦收敛；

(2)、若，而发散，则亦发散。

【例1】讨论级数

的敛散性，其中。

【解】1、若，则，而调和级数发散，

故亦发散；

2、若，对于，有

，

考虑比较级数

它的部分和

故收敛，由比较审敛法，收敛，

由级数的性质，亦收敛。

综上讨论，当时，级数为发散的；

当时，级数是收敛的。

级数是一个重要的比较级数，在解题中会经常用到。

比较审敛法还可用其极限形式给出，而极限形式在运用中更显得方便。

【比较审敛法的极限形式】

设及为两个正项级数，如果极限

则级数与同时收敛或同时发散。

【证明】由极限的定义有

对，存在着自然数，当时，有不等式

再据比较审敛法的推论，即获得了要证的结论。

【极限审敛法】设为正项级数，

(1)、若，则发散；

(2)、若，则收敛。

【证明】若

故与具有相同的收敛性，亦即

(1)、当时，收敛，故收敛；

(2)、当时，发散，故发散；

(3)、

(4)、

【例2】判别级数

、

的敛散性。

解：

故级数发散；

故级数收敛。

【比值审敛法】

若正项级数适合

则Ê当时，级数收敛；

Ë当(也包括)时，级数发散；

Ì当时，级数的敛散性不详。

【证明】

Ê当时，可取一适合小的正数，使得

据极限的定义，存在自然数，当时，

，

有

，…

级数的各项小于收敛的等比级数()

的对应项，故收敛，从而亦收敛；

Ë当时，

存在充分小的正数，使得，据极限定义，当时，有

，

因此，当时，级数的一般项是逐渐增大的，它不趋向于零，

由级数收敛的必要条件，发散。

Ì当时，级数可能收敛，也可能发散。

例如，对于级数，不论取何值，总有

但是，级数在时收敛，而当时，它是发散。

【根值审敛法】

若正项级数适合

则Ê当时，级数收敛；

Ë当(也包括)时，级数发散；

Ì当时，级数的敛散性不详。

【证明】

Ê当时，可取一适合小的正数，使得

据极限的定义，存在自然数，当时，

，

等比级数()是收敛的，因此亦收敛，

故级数收敛。

Ë当时，

存在充分小的正数，使得，据极限定义，当时，有

，

因此，级数的一般项不趋向于零,由级数收敛的必要条件，发散。

Ì当时，级数可能收敛，也可能发散。

例如，级数是收敛，级数是发散的，而

对于比值法与根值法失效的情形()，其级数的敛散性应加另寻它法加以判定，通常是构造更精细的比较级数。

【例3】判定下列级数的敛散性

1、

2、

3、

解：1、一般项为

由比值审敛法知，级数1是收敛的。

2、一般项为

由根值审敛法知，级数2是收敛的。

3、一般项为

这表明，用比值法无法确定该级数的敛散性。注意到

而级数收敛，由比较判别法，级数3收敛。

二、交错级数及其审敛法

所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正、负交错的，其形式如下

(1)

或

其中均为正数。

【交错级数审敛法】(又称莱布尼兹定理)

如果交错级数(1)满足条件

则交错级数(1)收敛，且收敛和，余项的绝对值。

【证明】

1、先证存在。

将(1)式的前项的部分和写成如下两种形式

及

由条件(1) 可知

所有括号内的差均非负，第一个表达式表明：数列是单调增加的；而第二个表达式表明：,数列有上界。

由单调有界数列必有极限准则，当无限增大时，趋向于某值，并且。

即

2、再证

因

由条件(2) 可知，

由于级数的偶数项之和与奇数项之和都趋向于同一极限，故级数(1)的部分和当时具有极限。这就证明了级数(1)收敛于，且。

3、最后证明

余项可以写成

其绝对值为

此式的右端也是一个交错级数，它满足收敛的两个条件，故其和应小于它的首项，即

【例4】试证明交错级数

是收敛的。

【证明】

且

故此交错级数收敛，并且和。

三、绝对收敛与条件收敛

设有级数 (2)

其中为任意实数，该级数称为任意项级数。

下面，我们考虑级数(2)各项的绝对值所组成的正项级数

(3)

的敛散性问题。

【定义】

如果级数(3)收敛，则称级数(2)绝对收敛；

如果级数(3)发散，而级数(2)收敛，则称级数(2)条件收敛。

【定理一】如果级数(3)收敛，则级数(2)亦收敛。

【证明】设级数收敛

令

显然，且

而收敛，由比较审敛法，正项级数收敛，

从而亦收敛，另一方面，

由级数性质，级数收敛。

定理一将任意项级数的敛散性判定转化成正项级数的收敛性判定。

【例6】判定任意项级数的收敛性。

解因

而收敛，故亦收敛，

据定理一，级数收敛。

【例7】讨论级数的收敛性。

解因调和级数发散，

而交错级数收敛，

故级数非绝对收敛，仅仅是条件收敛的。

由定理一与例三，可总结出绝对收敛、条件收敛与收敛之间的关系。

有限项相加的重要性质之一是其和与相加的次序无关(即加法具有交换律、结合律)。这样的性质可否搬到无穷级数呢?

无穷级数一般不具备这样的性质，即使是条件收敛的级数也不具备有这样的性质。但如果级数绝对收敛，则级数中的各项可任意地改变位置（即交换律成立）、可任意地添加括号（即结合律成立）。

【定理二】如果级数

绝对收敛，其和为，那么任意颠倒级数各项的顺序所得到的新级数

仍绝对收敛，且其和仍为。

【典型例子】交错级数

条件收敛，设它的收敛和为。

下面讨论它的几种新组合

1、

它的前项所作成的部分和为

对级数的项作如下重排

(4)

它的前项所作成的部分和为

，

这表明，重排之后的新级数收敛于。

2、对级数的项作如下重排

它的前项部分和为

而

故，重排之后的新级数收敛于。

由1、2可知，级数重排后，改变了级数的收敛和。因此，非绝对收敛的级数不能进行项的重排。

§11.4 幂级数

一、函数项级数的一般概念

设有定义在区间上的函数列

由此函数列构成的表达式

(1)

称作函数项级数。

对于确定的值，函数项级数(1)成为常数项级数

(2)

若(2)收敛，则称点是函数项级数(1)的收敛点；

若(2)发散，则称点是函数项级数(1)的发散点；

函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域；

函数项级数的所有发散点的全体称为它的发散域。

对于函数项级数收敛域内任意一点，(1)收敛，其收敛和自然应依赖于的取值，故其收敛和应为的函数，即为。通常称为函数项级数的和函数。它的定义域就是级数的收敛域，并记

若将函数项级数(1)的前项之和(即部分和)记作，则在收敛域上有

若把叫做函数项级数的余项(这里在收敛域上)，则。

二、幂级数及其收敛域

函数项级数中最常见的一类级数是所谓幂级数，它的形式是

(3)

或 (4)

其中常数称作幂级数系数。

(4)式是幂级数的一般形式，作变量代换可以把它化为(3)的形式。

因此，在下述讨论中，如不作特殊说明，我们用幂级数(3)式作为讨论的对象。

1、幂级数的收敛域、发散域的构造

先看一个著名的例子，考察等比级数( 显然也是幂级数 )

的收敛性。

当时，该级数收敛于和；

当时，该级数发散。

因此，该幂级数的收敛域是开区间，发散域是及，如果在开区间内取值，则

由此例，我们观察到，这个幂级数的收敛域是一个区间。事实上，这一结论对一般的幂级数也是成立的。

【定理一】(阿贝尔定理)

若时，幂级数收敛，则适合不等式的一切均使幂级数绝对收敛；

若时，幂级数发散，则适合不等式的一切均使幂级数发散。

【证明】先设是幂级数的收敛点，即级数

收敛，则。

于是存在一个正数，使得

从而

当时，，等比级数收敛，从而

收敛，故幂级数绝对收敛；

定理一的第二部分可用反证法证明

假设幂级数当时发散，而有一点适合使级数收敛。

据定理一的第一部分，级数当时应收敛，这与定理的条件相矛盾，故定理的第二部分应成立。

阿贝尔定理揭示了幂级数的收敛域与发散域的结构

对于幂级数

若在处收敛，则在开区间之内，它亦收敛；

若在处发散，则在开区间之外，它亦发散；

这表明，幂级数的发散点不可能位于原点与收敛点之间。

于是，我们可以这样来寻找幂级数的收敛域与发散域

设幂级数在数轴上既有收敛点(不仅仅只是原点，原点肯定是一个收敛点)，也有发散点。

Œ从原点出发，沿数轴向右方搜寻，最初只遇到收敛点，然后就只遇到发散点，设这两部分的界点为P，点P可能是收敛点，也可能是发散点；

从原点出发，沿数轴向左方搜寻，情形也是如此，也可找到一个界点P’，两个界点在原点的两侧，由定理一知，它们到原点的距离是一样的。

Ž位于点P’与P之间的点，就是幂级数的收敛域；位于这两点之外的点，就是幂级数的发散域。

借助上述几何解释，我们就得到如下重要推论

【推论】如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数存在，它具有下列性质

Œ当时，幂级数绝对收敛；

当时，幂级数发散；

Ž当时，幂级数可能收敛，也可能发散。

正数通常称作幂级数的收敛半径。

由幂级数在处的敛散性就可决定它在区间，，或上收敛，这区间叫做幂级数的收敛区间。

特别地，如果幂级数只在处收敛，则规定收敛半径；如果幂级数对一切都收敛，则规定收敛半径。

2、幂级数的收敛半径的求法

【定理二】设有幂级数，且

(，是幂级数的相邻两项的系数)

如果 Œ，则；

，则；

Ž，则。

【证明】考察幂级数的各项取绝对值所成的级数

(*)

该级数相邻两项之比为

若存在，据比值审敛法，

Œ当

即时，级数(*)收敛，从而原幂级数绝对收敛；

当，即时，级数(*)从某个开始，有

从而不趋向于零，进而也不趋向于零，因此原幂级数发散。

于是，收敛半径；

‚若，则对任何，有

从而级数(*)收敛，原幂级数绝对收敛

于是，收敛半径；

ƒ若，则对任何，有

依极限理论知，从某个开始有

，

因此，

从而

原幂级数发散。

于是，收敛半径。

【例1】求下列幂级数的收敛半径与收敛区间

1、

2、

解1：这里

在左端点，幂级数成为

它是发散的；

在右端点，幂级数成为

它是收敛的。

收敛区间为。

解2.此幂级数缺少奇次幂项,可据比值审敛法的原理来求收敛半径

当，即时，幂级数收敛；

当，即时，幂级数发散；

对于左端点，幂级数成为

它是发散的；

对于右端点，幂级数成为

它也是发散的。

故收敛区间为。

【例2】求函数项级数的收敛域

解：作变量替换，则函数项级数变成了幂级数

因

故收敛半径为。

在左端点，幂级数成为

它是发散的；

在右端点，幂级数成为

它也是发散的。

故收敛区间为。

即，

亦即。

三幂级数的运算性质

对下述性质，我们均不予以证明

1．加，减运算

设幂级数及的收敛区间分别为与，记，当时，有

2．幂级数和函数的性质

Ê幂级数的和函数在收敛区间内连续。

Ë若幂级数在敛区的左端点收敛，则其和函数在处右连续，即；

Ì若幂级数在敛区的右端点处收敛，则其和函数在处左连续，即。

注：这一性质在求某些特殊的数项级数之和时，非常有用。

3．逐项求导

幂级数的和函数在收敛区间内可导，且有

4．逐项求积分

幂级数的和函数在收敛区间内可积，且有

【例3】求数项级数之和。

解：

当时，幂级数成为

是一收敛的交错级数。

当时，幂级数成为

是发散的调和级数。

故

且有

【例4】求的和函数。

解：

设

当时，幂级数成为

它是收敛的；

当时，幂级数成为

它是收敛的；

因此，当时，有

【例5】求的和。

解：考虑辅助幂级数

设

故，当时，有

令，得

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