微积分 = 微分 + 积分
微积分 = 微分 + 积分
微分 = “无限细分”
积分 = “无限求和”
微积分的基本方法在于:先微分,后积分
微分
常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。
微分实际上是函数的微小的增量,函数在某一点的导数值乘以自变量以这点为起点的增量,得到的就是函数的微分它近似等于函数的实际增量(这里主要是针对一元函数而言)。
1.基本公式
2.运算法则
积分
积分是已知一函数的导数,求这一函数。所以,微分与积分互为逆运算。
积分分为: 不定积分 和 定积分
不定积分
不定积分是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C(C是常数)的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x),C是任意的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分。
定积分
所谓定积分,其形式为∫[a:b]f(x)dx 。之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数。
几何意义上,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形的面积累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。
我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?
定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是:
若F'(x)=f(x)
那么∫[a:b]f(x)dx =F(a)-F(b)
牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。
积分公式
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