本文内容对应我的博客中微积分笔记总目录下的第三章，积分——微分的逆运算。

3. 积分（Integral）——微分的逆运算

通过

3.1 反导数（Antiderivative）和定积分(Definite Integral)

反导数（或不定积分Indefinite Integral）

定义
函数 g(x)g(x)g(x)的反导数或这是不定积分为：
G(x)=∫g(x)dxG(x)=\int g(x)dxG(x)=∫g(x)dx
也可以说 G′(x)=g(x)ordG(x)=g(x)dxG'(x)=g(x)\quad \text{or}\quad dG(x)=g(x)dxG′(x)=g(x)ordG(x)=g(x)dx
不定积分中的“不定”在于在求函数 g(x)g(x)g(x) 的不定积分的时候，总会出现常数 CCC。

几个常见的不定积分公式
∫xadx=1a+1xa+1+C\int x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C∫xadx=a+11xa+1+C∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C∫x1dx=ln∣x∣+C∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int \sin xdx=-\cos x+C\\ \int \cos xdx=\sin x+C∫sinxdx=−cosx+C∫cosxdx=sinx+C∫dx1−x2=sin⁡−1x+C\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\sin^{-1}x+C∫1−x2dx=sin−1x+C∫dx1+x2=tan⁡−1x+C\int\frac{dx}{1+x^2}=\tan^{-1}x+C∫1+x2dx=tan−1x+C

定理：
如果 F′(x)=f(x),G′(x)=f(x)F'(x)=f(x),\ G'(x)=f(x)F′(x)=f(x), G′(x)=f(x)，则 F(x)=G(x)+CF(x)=G(x)+CF(x)=G(x)+C
证明
如果 F′=G′F'=G'F′=G′，则 F′−G′=0,→∫(F−G)′dx=0F'-G'=0,\ \to\\ \int (F-G)'dx=0F′−G′=0, →∫(F−G)′dx=0
由于常数的导数才为0，所以 F(x)=G(x)+CF(x)=G(x)+CF(x)=G(x)+C。

定积分

定义
函数 f(x)f(x)f(x) 的定积分表示为，
∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫abf(x)dx
定积分表示在某个区间上函数曲线与xxx轴所围成的面积（这个面积可正可负，如下图）

定积分和不定积分的区别就在于定积分表达式中有明确的起始点和终止点，也就是说定积分计算出来之后是一个数值。

定积分求解的通用步骤

将区间分成很多个矩形
将这些矩形的面积加在一起
求间距无限小（矩形的宽趋近于0）的时候面积和的极限

黎曼和
黎曼和是上面三个步骤的应用。

将区间 [a,b][a,b][a,b] 分成 nnn 个子区间，间隔 Δx=(b−a)/n\Delta x=(b-a)/nΔx=(b−a)/n
将xxx轴的这些间隔命名为 cic_ici，对应的函数值为 f(xi)f(x_i)f(xi)（这一步中可以选择举行左侧和右侧的数值作为矩形的高度，对应的是不同黎曼和的种类）。
对这些矩形求和，得到：

∑i=1nf(ci)Δx=f(c1)Δx+f(c2)Δx+⋯+f(cn)Δx\sum_{i=1}^{n}f(c_i)\Delta x=f(c_1)\Delta x+f(c_2)\Delta x+\cdots+f(c_n)\Delta xi=1∑nf(ci)Δx=f(c1)Δx+f(c2)Δx+⋯+f(cn)Δx

可以得到函数f(x)f(x)f(x)的定积分是黎曼和的极限:∫abf(x)dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(ci)Δx\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(c_i)\Delta x∫abf(x)dx=n→∞limi=1∑nf(ci)Δx

3.2 微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus）

第一基本定理

如果f(x)f(x)f(x)是连续的，且F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x)，则
∫abf(x)dx=F(x)∣ab=F(b)−F(a)\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)∫abf(x)dx=F(x)∣ab=F(b)−F(a)

第二基本定理

如果f(x)f(x)f(x)是连续的，且F(x)=∫axf(t)dtF(x)=\int_a^x f(t)dtF(x)=∫axf(t)dt，则 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x)

（注意这里的变量t是dummy variable (哑变量)，没有实际作用）

两条基本定理的证明

A. 先证明第二定理
用几何法可以快速证明此定理。如图，

图中 F(x)=∫axf(x)dx,ΔF=∫xx+Δxf(x)dx≈Δx⋅f(x)F(x)=\int_a^xf(x)dx,\ \Delta F=\int_x^{x+\Delta x}f(x)dx\approx\Delta x\cdot f(x)F(x)=∫axf(x)dx, ΔF=∫xx+Δxf(x)dx≈Δx⋅f(x)，则
lim⁡Δx→0ΔFΔx=F′(x)=f(x)\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta F}{\Delta x}=F'(x)=f(x)Δx→0limΔxΔF=F′(x)=f(x)

B. 证明微积分第一基本定理
通过第二定理，我们可以引入另外一个函数G(x)=∫axf(x)dx,G′(x)=f(x)G(x)=\int_a^xf(x)dx,\ G'(x)=f(x)G(x)=∫axf(x)dx, G′(x)=f(x)。又因为第一定理的前提是 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x)，所以可以得到，F(x)=G(x)+CF(x)=G(x)+CF(x)=G(x)+C，构造函数值的差就可以推导出：
F(b)−F(a)=G(b)+C−(G(a)+C)=G(b)−G(a)F(b)-F(a)=G(b)+C-(G(a)+C)=G(b)-G(a)F(b)−F(a)=G(b)+C−(G(a)+C)=G(b)−G(a)G(b)−G(a)=∫abf(x)dx−∫aaf(x)dx=∫abf(x)dxG(b)-G(a)=\int_a^bf(x)dx-\int_a^af(x)dx=\int_a^bf(x)dxG(b)−G(a)=∫abf(x)dx−∫aaf(x)dx=∫abf(x)dx
所以∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a)

3.3 积分的性质

两函数相加的定积分为：∫ab(f(x)+g(x))dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx\int_a^b(f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx∫ab(f(x)+g(x))dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx
数乘：∫abcf(x)dx=c∫abf(x)dx\int_a^bcf(x)dx=c\int_a^bf(x)dx∫abcf(x)dx=c∫abf(x)dx
积分的合并和拆分（a<c<ba<c<ba<c<b）：∫abf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx∫abf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx
某一点的积分为0：∫aaf(x)dx=0\int_a^af(x)dx=0∫aaf(x)dx=0
积分上下限的颠倒：∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx
积分估计（estimation）：如果f(x)≤g(x),a<bf(x)\leq g(x),\ a<bf(x)≤g(x), a<b，则
∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int_a^bf(x)dx\leq \int_a^bg(x)dx∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx
换元法同样适用于定积分∫u1u2g(u)du=∫x1x2g(u(x))u′(x)dx\int_{u_1}^{u_2}g(u)du=\int_{x_1}^{x_2}g(u(x))u'(x)dx∫u1u2g(u)du=∫x1x2g(u(x))u′(x)dx
（本性质的成立条件是u(x)u(x)u(x)在区间[x1,x2][x_1,x_2][x1,x2]上是单调函数，也就是u′u'u′在此区间上不改变符号）

3.4 积分技巧: (Techniques of Integration)

3.4.1 换元法（Substitution and Trig Substitution）

换元法的相关内容请点击上面的链接。

3.4.2 分部积分（Integrations by Parts）

公式:

不定积分：
∫u′vdx=uv−∫uv′dx\int u'vdx=uv-\int uv'dx∫u′vdx=uv−∫uv′dx
定积分：
∫abu′vdx=uv∣ab−∫abuv′dx\int_a^b u'vdx=uv|_a^b-\int_a^b uv'dx∫abu′vdx=uv∣ab−∫abuv′dx

推导:

由导数的乘法法则我们知道，
(uv)′=u′v+uv′→u′v=(uv)′−uv′(uv)'=u'v+uv'\quad\to\quad u'v=(uv)'-uv'(uv)′=u′v+uv′→u′v=(uv)′−uv′
两边同时积分可以得到：
∫u′vdx=uv−∫uv′dx\int u'vdx=uv-\int uv'dx∫u′vdx=uv−∫uv′dx

举例

求不定积分
∫ln⁡xdx\int \ln xdx∫lnxdx
令 u=ln⁡x,v=x,v′=1,u′=1/xu=\ln x,\ v=x,\ v'=1,\ u'=1/xu=lnx, v=x, v′=1, u′=1/x，那么
∫ln⁡xdx=xln⁡x−∫1x⋅xdx=xln⁡x−x+C\int \ln xdx=x\ln x-\int\frac{1}{x}\cdot xdx=x\ln x-x+C∫lnxdx=xlnx−∫x1⋅xdx=xlnx−x+C
如果对被积函数的某个部分求导使算式变得更加简单，这时候就应该优先选择分部积分的方法。

3.4.3 部分分式（Partial Fractions）

部分分式的方法主要考虑多项式求导的情况。具体解决的类型是：
P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}Q(x)P(x)其中P(x),Q(x)P(x),\ Q(x)P(x), Q(x)均为多项式。
具体的方法被称为掩盖法（Cover-Up Method），步骤是：

因式分解分母 Q(x)Q(x)Q(x)；
建立方程（标定各个项的参数）；
用掩盖法求解各个参数；

上述步骤中，第二步最为重要，如果分母Q(x)Q(x)Q(x)不含重根，那么方程的建立是非常简单的，只需要给每一项一设定一个常数，但是一旦出现了重根或者复数根的情况，我们就得将他们展开。
举例
1. 不含重根和复数根
求不定积分
∫4x−1x2+x−2dx\int\frac{4x-1}{x^2+x-2}dx∫x2+x−24x−1dx
因式分解分母并建立方程，标定参数
4x−1x2+x−2=4x−1(x+2)(x−1)=Ax+2+Bx−1\frac{4x-1}{x^2+x-2}=\frac{4x-1}{(x+2)(x-1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}x2+x−24x−1=(x+2)(x−1)4x−1=x+2A+x−1B
用掩盖法求解参数，具体步骤是：
4x−1x2+x−2⋅(x−1)=4x−1x+2=A(x−1)x+2+B\frac{4x-1}{x^2+x-2}\cdot(x-1)=\frac{4x-1}{x+2}=\frac{A(x-1)}{x+2}+Bx2+x−24x−1⋅(x−1)=x+24x−1=x+2A(x−1)+B
带入 x=1x=1x=1，可以得到：
B=4−11+2=1B=\frac{4-1}{1+2}=1B=1+24−1=1
同理 A=3A=3A=3。（掩盖法的另外一种简单操作就是遮盖住因式分解后式子中的与所求参数对应的因子，再带入使因子为0的数值即可）
化简之后分部求解即可。

2. 含重根
求不定积分
∫x2+2(x−1)2(x+2)dx\int\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)}dx∫(x−1)2(x+2)x2+2dx
以上是分解好的因式，接下来需要建立方程
x2+2(x−1)2(x+2)=[Ax−1+B(x−1)2]+Cx+2\frac{x^2+2}{(x-1)^2(x+2)}=\Big[\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}\Big]+\frac{C}{x+2}(x−1)2(x+2)x2+2=[x−1A+(x−1)2B]+x+2C
中括号括起来的部分就是重根项的展开了。式子中的B,CB,\ CB, C可以通过掩盖法来求解，但AAA只能再求解完B,CB,\ CB, C的数值之后通过带入其他数字来计算了。（大三在学信号与系统的时候讲到可以用导数来求解，但我实在是觉得太麻烦，还是代数法来得容易些）

3. 含复数根
求不定积分
∫x2(x−1)(x2+1)dx\int\frac{x^2}{(x-1)(x^2+1)}dx∫(x−1)(x2+1)x2dx
建立方程
x2(x−1)(x2+1)=Ax+Bx2+1+Cx+2\frac{x^2}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{C}{x+2}(x−1)(x2+1)x2=x2+1Ax+B+x+2C
这时候先计算参数 CCC 的值，再两边同时乘分母再化简带入数值即可完成计算A=B=C=1/2A=B=C=1/2A=B=C=1/2

3.5 瑕积分（improper integral）

第一种形式

函数 f(x)>0f(x)>0f(x)>0的瑕积分是：
∫a∞f(x)dx=lim⁡N→∞∫aNf(x)dx\int_a^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_a^Nf(x)dx∫a∞f(x)dx=N→∞lim∫aNf(x)dx
从几何的角度表示就是：

第二种形式

如果函数 f(x)f(x)f(x)在x=0x=0x=0处有奇点（singularity）则第二类瑕积分可以表示成：
∫01f(x)dx=lim⁡a→0+∫a1f(x)dx\int_0^{1}f(x)dx=\lim_{a\to 0^+}\int_a^1f(x)dx∫01f(x)dx=a→0+lim∫a1f(x)dx
从几何的角度表示就是：

瑕积分的收敛性（Convergence）

一般情况

当以下表达式的结果为常数的时候，瑕积分收敛：
∫a∞f(x)dx=lim⁡N→∞∫aNf(x)dx=C\int_a^{\infty}f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_a^Nf(x)dx=C∫a∞f(x)dx=N→∞lim∫aNf(x)dx=C∫01f(x)dx=lim⁡a→0+∫a1f(x)dx=C\int_0^{1}f(x)dx=\lim_{a\to 0^+}\int_a^1f(x)dx=C∫01f(x)dx=a→0+lim∫a1f(x)dx=C
如果结果为±∞\pm\infty±∞，则瑕积分发散（diverge）：
∫a∞f(x)dx=±∞\int_a^{\infty}f(x)dx=\pm\infty∫a∞f(x)dx=±∞∫01f(x)dx=±∞\int_0^{1}f(x)dx=\pm\infty∫01f(x)dx=±∞

举例——幂函数

试说明幂函数 ∫011xndx\int_0^1\frac{1}{x^n}dx∫01xn1dx 和 ∫1∞1xndx,(n>0)\int_1^{\infty}\frac{1}{x^n}dx,\ (n>0)∫1∞xn1dx, (n>0) 的收敛性

当 n>1n>1n>1 时，
∫011x2dx=−1x∣01=∞\int_0^1\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}\Big|_0^1=\infty∫01x21dx=−x1∣∣∣01=∞∫1∞1x2dx=−1x∣1∞=1\int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}\Big|_1^\infty=1∫1∞x21dx=−x1∣∣∣1∞=1
当 0<n<10<n<10<n<1 时，
∫011xdx=2x∣01=2\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt x\Big|_0^1=2∫01x1dx=2x∣∣∣01=2∫1∞1xdx=2x∣1∞=∞\int_1^\infty\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt x\Big|_1^\infty=\infty∫1∞x1dx=2x∣∣∣1∞=∞

当 n=1n=1n=1 时，
∫011xdx=ln⁡x∣01=−∞\int_0^1\frac{1}{x}dx=\ln x\Big|_0^1=-\infty∫01x1dx=lnx∣∣∣01=−∞∫1∞1xdx=ln⁡x∣1∞=∞\int_1^\infty\frac{1}{x}dx=\ln x\Big|_1^\infty=\infty∫1∞x1dx=lnx∣∣∣1∞=∞

关于幂函数瑕积分的收敛性我画了一张图进行了总结（PPT画的哈哈）：

3.6 数值积分（Numerical Integration）

数值积分的方法更适合计算机来处理函数的不定积分和定积分，因为这类方法会涉及到非常多的迭代。常用的数值积分有三种方法：黎曼和（前文介绍过）、梯形法则（Trapezoidal Rule）、辛普森法则（Simpson’s Rule）

A. 黎曼和

如前文所述，黎曼和的基本公式为：
右黎曼和：∫abf(x)dx≈(y1+y2+⋯+yn)Δx\int_a^bf(x)dx\approx(y_1+y_2+\cdots+y_n)\Delta x∫abf(x)dx≈(y1+y2+⋯+yn)Δx
左黎曼和：∫abf(x)dx≈(y0+y1+⋯+yn−1)Δx\int_a^bf(x)dx\approx(y_0+y_1+\cdots+y_{n-1})\Delta x∫abf(x)dx≈(y0+y1+⋯+yn−1)Δx

B. 梯形法则

梯形法则的思路就是将黎曼和中的矩形换成了梯形，提高了估算的准确度。
单独一块梯形的面积公式为：
Area per Iteration=yi−1+yi2⋅Δx\text{Area per Iteration}=\frac{y_{i-1}+y_i}{2}\cdot\Delta xArea per Iteration=2yi−1+yi⋅Δx
整个的估计就是：
∫abf(x)dx≈(y02+y1+⋯+yn−1+yn2)Δx\int_a^bf(x)dx\approx(\frac{y_0}{2}+y_1+\cdots+y_{n-1}+\frac{y_n}{2})\Delta x∫abf(x)dx≈(2y0+y1+⋯+yn−1+2yn)Δx
（推导公式请参考下图）

C. 辛普森法则

这里直接给出辛普森的公式（记住1/3，1，4，1的比例变化就行了）
一次迭代的面积：
Area per Iteration=(y0+4y1+y2)⋅Δx3\text{Area per Iteration}=(y_0+4y_1+y_2)\cdot\frac{\Delta x}{3}Area per Iteration=(y0+4y1+y2)⋅3Δx
整个的估计为：
∫abf(x)dx≈(y0+4y1+2y2+⋯+2yn−2+4yn−1+yn)Δx3\int_a^bf(x)dx\approx(y_0+4y_1+2y_2+\cdots+2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n})\frac{\Delta x}{3}∫abf(x)dx≈(y0+4y1+2y2+⋯+2yn−2+4yn−1+yn)3Δx

记公式的时候请参考下图。

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