本文内容对应我的博客中微积分笔记总目录下的第四章，积分的应用。

4. 积分的应用

4.1 平均值和加权平均值（Averages and Weighted Averages）

连续平均值的定义：
Continuous Average=1b−a∫abf(x)dx\text{Continuous Average}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dxContinuous Average=b−a1∫abf(x)dx
注意，平均值与选择的变量有关，比如求半圆高度的平均值，对xxx轴和对圆心角θ\thetaθ会算出不同的结果，这是因为，对xxx轴而言，分母是半圆的直径，而对于圆心角θ\thetaθ而言，分母则是半圆的周长。

加权平均值的定义：
Weighted Average=∫abf(x)w(x)dx∫abw(x)dx\text{Weighted Average}=\frac{\int_a^bf(x)w(x)dx}{\int_a^bw(x)dx}Weighted Average=∫abw(x)dx∫abf(x)w(x)dx
加权平均值在概率问题中非常常见。

4.2 求两条曲线包围下的面积

如下图所示，
我们要求的面积为蓝色区域，除此之外，我们还需要知道两条曲线的交点的坐标。之后我们可以得到，
Area=∫ab(f(x)−g(x))⎵Heightdx⎵Base\text{Area}=\int_a^b\underbrace{(f(x)-g(x))}_{\text{Height}}\underbrace{dx}_{Base}Area=∫abHeight(f(x)−g(x))Basedx
在具体情况中，一定要选好哪个变量是自变量，有一些情况需要我们颠倒横轴纵轴来帮助我们简化面积公式。比如下图，求x=y2x=y^2x=y2 与y=x−2y=x-2y=x−2 所包围形成的面积

很明显，正常求解过程中，横向的抛物线从正常的角度来看不能被看成函数，而且需要把面积竖直分成两部分，但是交换X,YX,\ YX, Y轴的顺序反而会大大简化运算（把yyy 看作自变量）。

4.3 求二维曲线轨迹长度（Arc Length）、三维曲面面积和体积（Surface and Volume）

在具体求轨迹长度之前，需要先引入参数方程，因为不同形状的曲线或者是之后多变量微积分中的曲面，根据选取的坐标系的不同，运算量也会不同。比如矩形类或者长方体更适合常用的笛卡尔坐标系（xyzxyzxyz坐标系），而圆柱类，球类则更适合柱坐标系和球坐标系。

4.3.1 坐标系和参数方程（Coordinates and Parametric Equations）

极坐标和笛卡尔坐标系（Polar Coordinates and Cartesian Coordinates）

因为是单变量微积分，坐标系只是二维的。对于那些通过旋转或者依赖角度而生成的曲线来说，把笛卡尔二维坐标系转化为极坐标是非常方便的。
极坐标转化为笛卡尔坐标的公式为:
x=rcos⁡θx=r\cos \thetax=rcosθy=rsin⁡θy=r\sin \thetay=rsinθ
笛卡尔坐标转化为极坐标的公式为:
r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}r=x2+y2θ=tan⁡−1yx\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}θ=tan−1xy
其中rrr是到坐标原点的距离（一般来说范围是0≤r≤∞0\leq r\leq \infty0≤r≤∞），θ\thetaθ 是点与原点的连线和水平轴所成的角（一般来说范围是−π≤θ≤π-\pi\leq\theta\leq\pi−π≤θ≤π 或者0≤θ≤2π0\leq\theta\leq 2\pi0≤θ≤2π）

例如，将y=1y=1y=1转化到极坐标中
y=1=rsin⁡θy=1=r\sin\thetay=1=rsinθr=1sin⁡θr=\frac{1}{\sin\theta}r=sinθ1

参数方程

参数方程的目的是将原本的两个变量x,yx,\ yx, y分别表示成另外一个变量（比如说时间ttt）的函数，这种方式在实际应用中是非常有用的，因为我们可以通过中间变量来获得x,yx,\ yx, y的关系：
{x=x(t)y=y(t)\left\{ \begin{aligned} x&=x(t)\\ y&=y(t) \end{aligned} \right. {xy=x(t)=y(t)
常见的例子就是圆的参数方程
{x=rcos⁡ty=rsin⁡t\left\{ \begin{aligned}x&=r\cos t\\y&=r\sin t\end{aligned}\right.{xy=rcost=rsint
也就是x2+y2=r2x^2+y^2=r^2x2+y2=r2。

4.3.2 弧长对应的微分形式

1. 笛卡尔坐标系下求曲线弧长的微分形式是:
(Δs)2≈(Δx)2+(Δy)2(\Delta s)^2\approx(\Delta x)^2+(\Delta y)^2(Δs)2≈(Δx)2+(Δy)2
转化成微分形式：
ds2=dx2+dy2→ds=dx2+dy2ds^2= dx^2+dy^2\quad\to\quad ds=\sqrt{dx^2+dy^2}ds2=dx2+dy2→ds=dx2+dy2ds=1+dy2dx2dx=1+dy2dx2dx=1+f′(x)2dxds=\sqrt{1+\frac{dy^2}{dx^2}}\ dx=\sqrt{1+\frac{dy^2}{dx^2}}\ dx=\sqrt{1+f'(x)^2}\ dxds=1+dx2dy2 dx=1+dx2dy2 dx=1+f′(x)2 dx
2. 极坐标系下求曲线弧长的微分形式是:
ds=rdθds=rd\thetads=rdθ
简单的弧长计算。

3. 参数方程下求曲线弧长的微分形式是:
ds=dx2+dy2=(dx2dt2)+(dy2dt2)dtds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\Big(\frac{dx^2}{dt^2}\Big)+\Big(\frac{dy^2}{dt^2}\Big)}\ dtds=dx2+dy2=(dt2dx2)+(dt2dy2) dt

4.3.3 壳层法和圆盘法（Methods of Shells and Disks）——应对旋转类几何问题

普通切割法

普通切割法源于最简单的微分方法，将一个三维物体沿某个方向切成一小片。这种方法适用于竖直堆砌的底面不为圆类的物体
ΔV≈A⋅Δx\Delta V\approx A\cdot\Delta xΔV≈A⋅Δx这里AAA是每一小片的底面积，也是关于某一变量xxx的函数，Δx\Delta xΔx是厚度。上面的式子取极限再积分之后就是
V=∫A(x)dxV=\int A(x)dxV=∫A(x)dx

壳层法

壳层法求体积
壳层法求体积一般用于曲线绕竖直轴旋转的情况，如下图所示。

壳层法本质就是叠加每一层壳（通俗理解就是薄薄的一个空心圆柱体），微分的空心圆柱体的体积公式类似于厚度极小的长方体，由侧面积乘厚度得到。
dV=2πxf(x)⎵Side Area⋅dx⎵ThicknessdV=\underbrace{2\pi xf(x)}_{\text{Side Area}}\cdot \underbrace{dx}_{\text{Thickness}}dV=Side Area2πxf(x)⋅Thicknessdx
通过积分可以得到公式:
V=∫ab2πxf(x)⎵Side Area⋅dx⎵ThicknessV=\int_a^b\underbrace{2\pi xf(x)}_{\text{Side Area}}\cdot \underbrace{dx}_{\text{Thickness}}V=∫abSide Area2πxf(x)⋅Thicknessdx
（注意！这里的f(x)f(x)f(x)只是表示高度，不一定和曲线的表达式一样，比如上图中的f(x)=a−x2f(x)=a-x^2f(x)=a−x2而不是f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2）

圆盘法

圆盘法求体积

圆盘法一般用于曲线绕水平轴旋转的情况。如下图，
可以发现旋转后的体积可以通过对xxx轴某处的一小块圆盘做积分得到。微分形式是：
dV=πf(x)2⎵Base Area⋅dx⎵thicknessdV=\underbrace{\pi f(x)^2}_{\text{Base Area}}\cdot\underbrace{dx}_{thickness}dV=Base Areaπf(x)2⋅thicknessdx
积分可以得到:
V=∫abπf(x)2⎵Base Area⋅dx⎵thicknessV=\int_a^b\underbrace{\pi f(x)^2}_{\text{Base Area}}\cdot\underbrace{dx}_{thickness}V=∫abBase Areaπf(x)2⋅thicknessdx

圆盘法求曲面面积（Surface Area）

对于旋转体的曲面面积，可以类比圆柱的侧面面积公式，底面周长与高度的乘积。而对于一般旋转体而言，就是一小段弧长作为圆盘的厚度。
如果物体是绕yyy轴而成的，面积微元为（用dsdsds表示一小段弧长）：
dS=2πx⎵Circumference⋅ds⎵HeightdS=\underbrace{2\pi x}_{\text{Circumference}}\cdot \underbrace{ds}_{\text{Height}}dS=Circumference2πx⋅Heightds
积分之后就得到：
S=∫ab2πx⎵Circumference⋅ds⎵HeightS=\int_a^b\underbrace{2\pi x}_{\text{Circumference}}\cdot \underbrace{ds}_{\text{Height}}S=∫abCircumference2πx⋅Heightds

如果物体是绕xxx轴而成的，面积微元为（用dsdsds表示一小段弧长）：
dS=2πy⎵Circumference⋅ds⎵HeightdS=\underbrace{2\pi y}_{\text{Circumference}}\cdot \underbrace{ds}_{\text{Height}}dS=Circumference2πy⋅Heightds
积分之后就得到：
S=∫ab2πy⎵Circumference⋅ds⎵HeightS=\int_a^b\underbrace{2\pi y}_{\text{Circumference}}\cdot \underbrace{ds}_{\text{Height}}S=∫abCircumference2πy⋅Heightds

参数方程下的曲面面积

如果变量x,yx,\ yx, y表示成了参数方程，这时候只需要把弧长公式换成参数方程下的情况即可，其他思路不变。

4.4 求概率（Bell Curve）

（积分应用之概率求解请参考上面的链接。）

4.5 微分方程简介（Differential Equations)

简单举例

大三大四学控制的时候印象最深刻的就是微分方程组了。微分方程如其名，就是把函数的微分引入方程当中，比如说对汽车的控制需要知道加速度，速度，角速度，角加速度的信息，而这些信息都是关于位移或者角度的微分。
本节只是对微分方程的简介，如果以后听了MIT 18.03微分方程这门课后，我也会专门做一下笔记。
经典的一个微分方程的例子是：
(ddx+x)y=0\Big(\frac{d}{dx}+x\Big)y=0(dxd+x)y=0
其中(ddx+x)\Big(\frac{d}{dx}+x\Big)(dxd+x)被称为湮没算符（annihilation operator）
微分方程的解法核心就是分离变量（Separation of Variables），本例中，打开括号后方程可以写成：
dydx=−xy→dyy=−xdx\frac{dy}{dx}=-xy\quad\to\quad\frac{dy}{y}=-xdxdxdy=−xy→ydy=−xdx
两边同时积分，
∫dyy=−∫xdx\int \frac{dy}{y}=-\int xdx∫ydy=−∫xdxln⁡y=−x22+C(assume y>0)\ln y=-\frac{x^2}{2}+C\quad (\text{assume} \ y>0)lny=−2x2+C(assume y>0)y=exp⁡(−x22+C)=ece−x22=Ae−x22(A=ec)y=\exp(-\frac{x^2}{2}+C)=e^ce^{-\frac{x^2}{2}}=Ae^{-\frac{x^2}{2}}\quad(A=e^c)y=exp(−2x2+C)=ece−2x2=Ae−2x2(A=ec)
结果类似标准正太分布。

分离变量

一般来说，微分方程的形式为：
dydx=f(x)g(y)\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)dxdy=f(x)g(y)
分离变量之后再积分为：
∫dyg(y)=∫f(x)dx\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx∫g(y)dy=∫f(x)dx
令：
H(y)=∫dyg(y);F(x)=∫f(x)dxH(y)=\int \frac{dy}{g(y)};\ \ F(x)=\int f(x)dxH(y)=∫g(y)dy; F(x)=∫f(x)dx
H(y)=F(x)+CH(y)=F(x)+CH(y)=F(x)+C就是微分方程的隐式解（Implicit Solution）

单变量微积分笔记——积分的应用相关推荐

单变量微积分笔记——积分
本文内容对应我的博客中微积分笔记总目录下的第三章,积分--微分的逆运算. 3. 积分(Integral)--微分的逆运算通过 3.1 反导数(Antiderivative)和定积分(Definite ...
单变量微积分笔记——钟形曲线（Bell Curve）的积分以及（标准）正态分布
最近开始听MIT 18.01单变量微积分来复习微积分课程,听到第23讲的时候(对应的讲义可以到MIT opencourseware下载,讲义索引是session 65a),这节课我居然看到了关于概率分 ...
MIT 18.01 单变量微积分笔记——总目录及对应链接
0. 写在前面这篇总目录主要参考了MIT 18.01单变量微积分的课程结构,当然我也做了一些我认为更合理的思路上的改动.给自己定个小目标,争取一周之内填补目录上的几乎所有内容,我每写完一篇就会在本目 ...
单变量微积分笔记——导数的应用
本文内容对应我的博客中微积分笔记总目录下的第二章,导数和微分的应用. 2. 导数和微分的应用(Applications) 本章主要总结一些导数的应用和一条与导数有关的定理(中值定理) 2.1 线性和二 ...
单变量微积分笔记29——反常积分和瑕积分
我们已经学习了有限区间上的积分,但对于无穷的情况和区间上有奇点的情况仍无法理解.这就需要无穷积分和瑕积分来处理了,它们看起来十分有趣. 增长和衰减速率通过上一章的内容,我们已经可以做出一些总结,在洛 ...
单变量微积分笔记8——最值问题和相关变率
寻找最值在上篇文章曲线构图中,我们可以非常容易地从图上找到函数的最值点.想要求得一个函数的最值点,自然会联想到通过构图寻找,但是构图并不是一个轻松的过程.观察最值点在函数曲线上的位置,可以得出结论: ...
单变量微积分笔记7——曲线构图
曲线构图的目标是根据f'(x)和f'' (x)画出原函数f(x)的图像. 原函数:f(x) = 3x-x3 f'(x) = 3-3x2 f''(x) = -6x 函数的凹凸性前提是:设f(x)在[a ...
单变量微积分笔记23——部分分式
求解被积函数是部分分式P(x)/Q(x)的积分,P(x)和Q(x)是关于x多项式.如果不能求出这类积分的原函数,结果将令人沮丧,现在我们要试图寻找一个有效的方法求解这类问题. 选定系数法这个很容易: ...
单变量微积分笔记2——导数2(求导法则和高阶导数)
和.差.积.商求导法则设u=u(x),v=v(x)都可导,则: (Cu)' = Cu', C是常数 (u ± v)' = u' ± v' (uv)' = u'v + uv' (u/v)' = (u' ...

单变量微积分笔记——积分的应用