数学分析曲面积分与场论初步(第22章)

一.第一型曲面积分(22.1)
1.概念:

2.计算:

定理22.1:设有光滑曲面S:z=z(x,y)((x,y)∈D)S:z=z(x,y)\,((x,y)∈D)S:z=z(x,y)((x,y)∈D)f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)为SSS上的连续函数,则∬Sf(x,y,z)dS=∬Df(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy(2)\iint_Sf(x,y,z)dS=\iint_Df(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy\qquad(2)∬Sf(x,y,z)dS=∬Df(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy(2)

二.第二型曲面积分(22.2)
1.曲面的侧:

注:①事实上,可以证明,只需对SSS中某一点M0M_0M0,如果通过M0M_0M0且不超过SSS的边界的任何闭曲线LLL都具有上述特性,则SSS是双侧曲面

2.概念:

3.性质:

性质1:若∬SPidydz+Qidzdx+Ridxdy(i=1,2...k)\iint_SP_idydz+Q_idzdx+R_idxdy\,(i=1,2...k)∬SPidydz+Qidzdx+Ridxdy(i=1,2...k)存在,则有∬S(∑i=1kciPi)dydz+(∑i=1kciQi)dzdx+(∑i=1kciRi)dxdy=∑i=1kci∬SPidydz+Qidzdx+Ridxdy\iint_S(\displaystyle\sum_{i=1}^kc_iP_i)dydz+(\displaystyle\sum_{i=1}^kc_iQ_i)dzdx+(\displaystyle\sum_{i=1}^kc_iR_i)dxdy\\=\displaystyle\sum_{i=1}^kc_i\iint_SP_idydz+Q_idzdx+R_idxdy\qquad\qquad\qquad\quad\:\:\:\:∬S(i=1∑kciPi)dydz+(i=1∑kciQi)dzdx+(i=1∑kciRi)dxdy=i=1∑kci∬SPidydz+Qidzdx+Ridxdy其中ci(i=1,2...k)c_i\,(i=1,2...k)ci(i=1,2...k)是常数

性质2:若曲面SSS是由两两无公共内点的曲面块S1,S2...SkS_1,S_2...S_kS1,S2...Sk所组成,且∬SiPdydz+Qdzdx+Rdxdy(i=1,2...k)\iint_{S_i}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\,(i=1,2...k)∬SiPdydz+Qdzdx+Rdxdy(i=1,2...k)存在,则有∬SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∑i=1k∬S−iPdydz+Qdzdx+Rdxdy\iint_SPdydz+Qdzdx+Rdxdy\quad\:\,\\=\displaystyle\sum_{i=1}^k\iint_{S-i}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy∬SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=i=1∑k∬S−iPdydz+Qdzdx+Rdxdy

4.计算:

定理22.2:设RRR是定义在光滑曲面S:z=z(x,y)((x,y)∈Dxy)S:z=z(x,y)\,((x,y)∈D_{xy})S:z=z(x,y)((x,y)∈Dxy)上的连续函数,以SSS的上侧为正侧(这时SSS的法线方向与zzz轴正向成锐角),则有∬SR(x,y,z)dxdy=∬DxyR(x,y,z(x,y))dxdy(2)\iint_SR(x,y,z)dxdy=\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy\qquad(2)∬SR(x,y,z)dxdy=∬DxyR(x,y,z(x,y))dxdy(2)

5.2类曲面积分的联系:

定理22.3:设SSS为光滑曲面,正侧法向量为(cosα,cosβ,cosγ),P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)(cos\,α,cos\,β,cos\,γ),P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)(cosα,cosβ,cosγ),P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在SSS上连续,则∬SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=∬S(P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+R(x,y,z)cosγ)dS\iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy\quad\\=\iint_S(P(x,y,z)cos\,α+Q(x,y,z)cos\,β+R(x,y,z)cos\,γ)dS∬SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=∬S(P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+R(x,y,z)cosγ)dS

定理22.4:设P,Q,RP,Q,RP,Q,R是定义在光滑曲面S:z=z(x,y)((x,y)∈D)S:z=z(x,y)\,((x,y)∈D)S:z=z(x,y)((x,y)∈D)上的连续函数,以SSS的上侧为正侧,则∬SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=∬D(P(x,y,z(x,y))(−zx)+Q(x,y,z(x,y))(−zy)+R(x,y,z(x,y)))dxdy\iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy\qquad\qquad\qquad\:\:\:\\=\iint_D(P(x,y,z(x,y))(-z_x)+Q(x,y,z(x,y))(-z_y)+R(x,y,z(x,y)))dxdy∬SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=∬D(P(x,y,z(x,y))(−zx)+Q(x,y,z(x,y))(−zy)+R(x,y,z(x,y)))dxdy

三.高斯公式与斯托克斯公式(22.3)
1.高斯公式(Gauss Formula):

定理22.5:设空间区域VVV由分片光滑的双侧封闭曲面SSS围成,若函数P,Q,RP,Q,RP,Q,R在VVV上连续,且有1阶连续偏导数,则∭V(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dxdydz=∯SPdydz+Qdzdx+Rdxdy(1)\iiint_V(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz\qquad\:\:\\=\oiint_SPdydz+Qdzdx+Rdxdy\qquad(1)∭V(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dxdydz=∬SPdydz+Qdzdx+Rdxdy(1)其中SSS取外侧;(1)式称为高斯公式

高斯公式建立起了沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分间的联系

2.斯托克斯公式
(1)右手法则:

(2)斯托克斯公式(Stokes Formula):

定理22.6:设光滑曲面SSS的边界LLL是按段光滑的连续曲线,若函数S,Q,RS,Q,RS,Q,R在SSS(连同LLL)上连续,且有1阶连续偏导数,则∬S(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∮LPdx+Qdy+Rdz(2)\iint_S(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy\\=\oint_LPdx+Qdy+Rdz\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:(2)∬S(∂y∂R−∂z∂Q)dydz+(∂z∂P−∂x∂R)dzdx+(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=∮LPdx+Qdy+Rdz(2)其中SSS的侧与LLL的方向按右手法则确定;公式(2)称为斯托克斯公式

为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式:∬S∣dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣=∮LPdx+Qdy+Rdz\iint_S\left|\begin{matrix}dydz&dzdx&dxdy\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{matrix}\right|=\oint_LPdx+Qdy+Rdz∬S∣∣∣∣∣∣dydz∂x∂Pdzdx∂y∂Qdxdy∂z∂R∣∣∣∣∣∣=∮LPdx+Qdy+Rdz
斯托克斯公式建立起了沿空间双侧曲面SSS的积分与沿SSS的边界曲线LLL的积分间的联系

(3)单连通与复连通:

(4)空间曲线积分与路线的无关性:

定理22.7:设Ω⊂R3Ω\sub R^3Ω⊂R3为空间单连通区域,若函数P,Q,RP,Q,RP,Q,R在ΩΩΩ上连续,且有1阶连续偏导数,则以下4个条件是等价的:
①对于ΩΩΩ内任一按段光滑的封闭曲线LLL,有∮LPdx+Qdy+Rdz=0\oint_LPdx+Qdy+Rdz=0∮LPdx+Qdy+Rdz=0
②对于ΩΩΩ内任一按段光滑的曲线LLL,曲线积分∫LPdx+Qdy+Rdz\int_LPdx+Qdy+Rdz∫LPdx+Qdy+Rdz与路线无关
③Pdx+Qdy+RdzPdx+Qdy+RdzPdx+Qdy+Rdz是ΩΩΩ内某一函数uuu的全微分,即du=Pdx+Qdy+Rdz(6)du=Pdx+Qdy+Rdz\qquad(6)du=Pdx+Qdy+Rdz(6)
④∂P∂y=∂Q∂x,∂Q∂z=∂R∂y,∂R∂x=∂P∂z\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}∂y∂P=∂x∂Q,∂z∂Q=∂y∂R,∂x∂R=∂z∂P在ΩΩΩ内处处成立

四.场论初步(22.4)
1.场的概念:

2.梯度场
(1)概念:

注:①∇\nabla∇常称为"哈密顿算符"(Hamiltonian),读作"Nabla"

(2)性质:

性质1:若u,vu,vu,v是数量函数,则∇(u+v)=∇u+∇v\nabla(u+v)=\nabla u+\nabla v∇(u+v)=∇u+∇v

性质2:若u,vu,vu,v是数量函数,则∇(uv)=u∇v+v∇u\nabla(uv)=u\nabla v+v\nabla u∇(uv)=u∇v+v∇u特别地,有∇u2=2u(∇u)\nabla u^2=2u(\nabla u)∇u2=2u(∇u)

性质3:若r⃗=(x,y,z),φ=φ(x,y,z)\vec r=(x,y,z),φ=φ(x,y,z)r=(x,y,z),φ=φ(x,y,z),则dφ=dr⃗⋅∇φdφ=d\vec r·\nablaφdφ=dr⋅∇φ

性质4:若f=f(u),u=u(x,y,z)f=f(u),u=u(x,y,z)f=f(u),u=u(x,y,z),则∇f=f′(u)∇u\nabla f=f'(u)\nabla u∇f=f′(u)∇u

性质5:若f=f(u1,u2...um),ui=ui(x,y,z)(i=1,2...m)f=f(u_1,u_2...u_m),u_i=u_i(x,y,z)\,(i=1,2...m)f=f(u1,u2...um),ui=ui(x,y,z)(i=1,2...m),则∇f=∑i=1m∂f∂ui∇ui\nabla f=\displaystyle\sum_{i=1}^m\frac{\partial f}{\partial u_i}\nabla u_i∇f=i=1∑m∂ui∂f∇ui

(3)引力场:

3.散度场
(1)概念:

注:①div是divergence(散度)的缩写

(2)物理意义:

(3)性质:

性质1:若u⃗,v⃗\vec u,\vec vu,v是向量函数,则∇⋅(u⃗+v⃗)=∇⋅u⃗+∇⋅v⃗\nabla·(\vec u+\vec v)=\nabla·\vec u+\nabla·\vec v∇⋅(u+v)=∇⋅u+∇⋅v

性质2:若φφφ是数量函数,F⃗\vec FF是向量函数,则∇⋅(φF⃗)=φ∇⋅F⃗+F⃗⋅∇φ\nabla·(φ\vec F)=φ\nabla·\vec F+\vec F·\nablaφ∇⋅(φF)=φ∇⋅F+F⋅∇φ

性质3:若φ=φ(x,y,z)φ=φ(x,y,z)φ=φ(x,y,z)是数量函数,则∇⋅∇φ=∂2φ∂x2+∂2φ∂y2+∂2φ∂z2\nabla·\nablaφ=\frac{\partial^2φ}{\partial x^2}+\frac{\partial^2φ}{\partial y^2}+\frac{\partial^2φ}{\partial z^2}∇⋅∇φ=∂x2∂2φ+∂y2∂2φ+∂z2∂2φ算符∇\nabla∇的内积∇⋅∇\nabla·\nabla∇⋅∇常记作Δ①\Delta^①Δ①,于是有∇⋅∇φ=Δφ\nabla·\nablaφ=\Deltaφ∇⋅∇φ=Δφ
注:①Δ=∇⋅∇=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2\Delta=\nabla·\nabla=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}Δ=∇⋅∇=∂x2∂2+∂y2∂2+∂z2∂2称为拉普拉斯算符

(4)引力场产生的散度场:

4.旋度场
(1)概念:

注:①rot是rotation(旋度)的缩写,有的书也用curl表示旋度;为便于记忆,rotArot\,ArotA也可写成rotA=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣rot\,A=\left|\begin{matrix}i&j&k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{matrix}\right|rotA=∣∣∣∣∣∣i∂x∂Pj∂y∂Qk∂z∂R∣∣∣∣∣∣

(2)物理意义:

(3)性质:

性质1:若u⃗,v⃗\vec u,\vec vu,v是向量函数,则∇×(u⃗+v⃗)=∇×u⃗+∇×v⃗∇(u⃗⋅v⃗)=u⃗×(∇×v⃗)+v⃗×(∇×u⃗)+(u⃗⋅∇)v⃗+(v⃗⋅∇)u⃗∇⋅(u⃗×v⃗)=v⃗⋅∇×u⃗−u⃗⋅∇×v⃗∇×(u⃗×v⃗)=(v⃗⋅∇)u−(u⃗⋅∇)v⃗+(∇⋅v⃗)u⃗−(∇⋅u⃗)v⃗\nabla×(\vec u+\vec v)=\nabla×\vec u+\nabla×\vec v\\\nabla(\vec u·\vec v)=\vec u×(\nabla×\vec v)+\vec v×(\nabla×\vec u)+(\vec u·\nabla)\vec v+(\vec v·\nabla)\vec u\\\nabla·(\vec u×\vec v)=\vec v·\nabla×\vec u-\vec u·\nabla×\vec v\\\nabla×(\vec u×\vec v)=(\vec v·\nabla)u-(\vec u·\nabla)\vec v+(\nabla·\vec v)\vec u-(\nabla·\vec u)\vec v∇×(u+v)=∇×u+∇×v∇(u⋅v)=u×(∇×v)+v×(∇×u)+(u⋅∇)v+(v⋅∇)u∇⋅(u×v)=v⋅∇×u−u⋅∇×v∇×(u×v)=(v⋅∇)u−(u⋅∇)v+(∇⋅v)u−(∇⋅u)v

性质2:若φφφ是数量函数,A⃗\vec AA是向量函数,则∇×(φA⃗)=φ(∇×A⃗)+∇φ×A⃗\nabla×(φ\vec A)=φ(\nabla×\vec A)+\nablaφ×\vec A∇×(φA)=φ(∇×A)+∇φ×A

性质3:若φφφ是数量函数,A⃗\vec AA是向量函数,则∇⋅(∇×A⃗)=0∇×∇φ=0⃗∇×(∇×A⃗)=∇(∇⋅A⃗)−∇2A⃗=∇(∇⋅A⃗)−ΔA⃗\nabla·(\nabla×\vec A)=0\\\nabla×\nablaφ=\vec0\\\nabla×(\nabla×\vec A)=\nabla(\nabla·\vec A)-\nabla^2\vec A=\nabla(\nabla·\vec A)-\Delta\vec A∇⋅(∇×A)=0∇×∇φ=0∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A=∇(∇⋅A)−ΔA

5.管量场与有势场
(1)管量场:

(2)有势场:

(3)调和场:

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