对圆柱面的曲面积分_积分曲面为圆柱面的曲面积分的计算

数理医药学杂志 2013年第 26卷第2期文章编号：1004—4337(2013)02—0133—02 中图分类号：0172．2 文献标识码：C 积分曲面为圆柱面的曲面积分的计算贺勇 (武汉东湖学院基础课部武汉 430212) 摘要：介绍积分曲面为圆柱面的曲面积分的计算方法及其应用。关键词：第一型曲线积分；柱面坐标；曲面积分 d0i：10．3969／j．issn．1004-4337．2013．02．003 在一般高等数学教材中，曲面积分主要转化为二重积分的计算。这要求积分曲面在坐标面上的投影必须是区域，但在解决与曲面积分有关的问题时会发现，对某些曲面比如柱面，很容易求出它在坐标面上的投影，但投影为曲线。本文针对这种情况，给出被积函数满足一定条件时，曲面积分的不同计算方法，极大地简化曲面积分的计算。对第一型曲面积分介绍了 3种方法如下： 1 利用同济 6版高等数学教材中第一型曲面积分Ⅱ，(z，Y。 ) s的计算公式计算设 L：{( ， )1．z。+ 一R )为 xoy面上的光滑曲线，∑ 为圆柱面， ∑：{( ，y， )l(z， )EL，z1(z， )≤ ≤22(z， )} ∑ 被 yoz面分成前后两部分：∑前，∑ ，且 ∑前：z一 = ，( ，z)∈D 一{( ，z)l—R≤ ≤R， Zl(z， )≤2≤ 2( ， )} ∑前：z一一一，( ， )∈D 一{( ， )l—R≤ ≤ R，Z1(z， )≤ ≤ 2(z， )) 其中 z1(z， )， (z， )在 L上连续，f(x，Y，2)在∑上连续，则 _厂( ，Y，z)ds一 f(x，y，z)ds+ f(x，，z)ds f(厨，y， ) 研 dydz+ f(一 R 一。，y， )41+(z ) dyd (1) 例 1 丌~异干—cl s干，其中∑是介于平面 —o与 — H 之间的圆柱面。+ 一R 解利用公式 (1)得』研ds2 南 ‘√ +( z 1 。丽R dy出一z J —RR丽R dy J 』R。、丽dy』 2~rarctan 收稿日期：2013一O1—22 · 方法评介 · 2利用第一型曲线积分计算第一型曲面积分《厂(z，， ) ，见文献[1] 设 L：{(z， )lX + 一R )为 xoy面上的光滑曲线，∑ 为圆柱面， ∑：{( ，Y， )l( ， )∈L，21(z， )≤ ≤ 2(z， )} 其中 (z， )， z(z， )在 L上连续，S(x，Y， )在∑上连续，则 8f(x，Y，2) s— ( 矧 f(x，，z)dz)ds (2) 例 2 计~异干 ds干，其中∑ 是介于平面 —o与 — H 之间的圆柱面 X + 一R2 解利用公式(2)得』一 1 q_z~dz 一』丽 1 arctan H ， —√■====== z2+ 令．z— RcosO， — Rsin~，0≤ 0≤ 2,r，则 ds一 7 =RdO，故』再一』 arctan H 垫 + + 耳耳 J 。 R arctan H · RdO-2~aretan 3 利用柱面坐标计算第一型曲面积分Ⅱ厂( ，Y，z)ds 设 L：{(z， )lz。+ 。一R。}为 xoy面上的光滑曲线，∑ 为圆柱面， ∑ ：{( ，Y， )l(z， )∈L， 1(z， )≤ ≤ 2(z， )}，利用柱面坐标(JD，0，z)，则∑：{(10，0，z)lp=R，口≤ ≤卢， ( ) ≤ z≤卿( )}，以一常数，一常数，分割曲面

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