布满障碍物的矩阵中连接两点所需的最小直线数目

假设有一个矩阵，四个边都是堵住的，矩阵内部有若干障碍物，现在有两个点，用若干条直线连接两个点，且直接不能穿越障碍物，那么至少需要几条直线呢？

前面写过一个迷宫中求路径的程序（ http://blog.csdn.net/royt/article/details/74848796 ），用到了递归的方式求解。先用类似的方法定义一个满足要求的矩阵。对于迷宫的矩阵，四个边都布满了障碍物且分别有一个入口和出口位于其上，在这个问题里面我们可以简化一下去掉四边的围墙，反正寻找路径时坐标点满足 0<=x<HEIGHT 和 0<=y<WIDTH 即可。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <limits.h>// height & width must be positive ingeters and cannot both be 1
#define HEIGHT 24
#define WIDTH  36// 2-dimensional array that represents the maze
int matrix[HEIGHT][WIDTH];
int min_nLines = INT_MAX;// 4 directions: {right, down, left, up}
const int DIRECTIONS[4][2] = {{0,1}, {1,0}, {0,-1}, {-1,0}};// status of a cell in the matrix
enum status { BLOCKED = -1, START = 0, UNBLOCKED = INT_MAX - 1, END = INT_MAX };

同样定义了寻找路径的四个方向，矩阵上每个点的状态要么为障碍（-1），要么为空白格（极大值），在计算之后其值更新为到达起点的步数（也就是连通所需的最小直线数量）。那么对于起始点，这个值当然为0，对于其他空白和终点，可以先设置一个非常大的正整数，为了表示区别将终点设置为INT_MAX，其他空白为INT_MAX - 1。接下来则是生成矩阵的程序，没啥特别之处，先是放置障碍物的函数，其参数定义了空白和障碍物的比例，这个值太小则可能彻底堵死找不到通路，太大则显得矩阵空空荡荡，连通的路径不够百曲千回，演示效果不佳，一般取3或4就差不多了。接着是随机选取起点和终点，两点不允许重合，为了简单起见，即使不小心选到障碍物也不用计较，就当它原本是空白格。最后是打印矩阵，可以人为的给四周加上一圈围墙，每一处空白会显示为距离起点的步数（当然有些空白是不可达的，假如正好被障碍物围起来）。这一切看来都没什么问题。

void placeObstacle(int ratio)
{// ratio = Unblocked / Blockedint num_blocked = 0, max_num_blocked = HEIGHT * WIDTH / (1 + ratio);for (int i = 0; i < HEIGHT; ++i){for (int j = 0; j < WIDTH; ++j){matrix[i][j] = (num_blocked < max_num_blocked && rand() % (1 + ratio) == 0) ? BLOCKED : UNBLOCKED;if (matrix[i][j] == BLOCKED) ++num_blocked;}}
}void setupEndpoint(int *a, int *b, int *c, int *d)
{// find 2 different points (*a, *b) and (*c, *d) in a rectangle (HEIGHT * WIDTH)*a = rand() % HEIGHT;*b = rand() % WIDTH;do {*c = rand() % HEIGHT;*d = rand() % WIDTH;}while (*a == *c && *b == *d);matrix[*a][*b] = START;matrix[*c][*d] = END;
}void printMatrix(void)
{for (int col = 0; col < WIDTH + 2; ++col){printf("█");}printf("\n");for (int row = 0; row < HEIGHT; ++row){printf("█");for (int col = 0; col < WIDTH; ++col){if (matrix[row][col] == BLOCKED)printf("■");else if (matrix[row][col] == UNBLOCKED)printf("  ");else if (matrix[row][col] == START)printf("☆");else if (matrix[row][col] == END)printf("◎");elseprintf("%2d", matrix[row][col]);}printf("█\n");}for (int col = 0; col < WIDTH + 2; ++col){printf("█");}printf("\n");
}

接下来是主函数，其中最关键的就是调用SearchPath这个寻找路径的函数。

int main(void)
{int start_row, start_col;int end_row, end_col;srand((unsigned)time(0));placeObstacle(3);setupEndpoint(&start_row, &start_col, &end_row, &end_col);printMatrix();printf("\n");# searchPath(...);matrix[end_row][end_col] = END;printMatrix();if (min_nLines < INT_MAX)printf("At least %d lines needed to connect 2 points\n", min_nLines);elseprintf("Cannot reach destination\n");return 0;
}

受到前面那个迷宫问题的影响，我没有进行任何思索就写了一个类似的SearchPath递归函数，形式和之前那个差不多，由于打算把从起点到任意空白处的步数都计算出来，所以没有设置终止条件。从起点开始，依次选定各个方向，将步数加1后一步步往前探索空白格直到遇见障碍物，若之前计算过的空白格的步数且大于当前数值，那么保留当前值并在该点进行递归调用，如下所示：

void searchPath(int start_row, int start_col, int end_row, int end_col, int num_of_lines)
{++num_of_lines;for (int d = 0; d < 4; ++d){for (int next_row = start_row + DIRECTIONS[d][0], next_col = start_col + DIRECTIONS[d][1];next_row >= 0 && next_row < HEIGHT && next_col >=0 && next_col < WIDTH \&& matrix[next_row][next_col] != BLOCKED;next_row += DIRECTIONS[d][0], next_col += DIRECTIONS[d][1]){if (matrix[next_row][next_col] > num_of_lines){matrix[next_row][next_col] = num_of_lines;searchPath(next_row, next_col, end_row, end_col, num_of_lines);}if (next_row == end_row && next_col == end_col && matrix[next_row][next_col] < min_nLines){min_nLines = matrix[next_row][next_col];}}}
}

事实上这个方法相当糟糕，计算效率低下。试想一下假如障碍物非常稀少甚至矩阵就是空旷的，连接任意两点最多只需要两条线段，然而我们一步一步前进，不停递归，绕来绕去的不断撞上以前计算过的空白格并更新之。举个最简单的例子，本来沿着一个点朝一条直线看过去，上面的所有空格都该具有同样的步数N，而采用递归的方式，每走一步进入一次递归，那么沿途步数会变成N+1, N+2, N+3, N+4...最后从递归里面退出继续走内层的循环，这些坐标的步数又被还原成N，那么为何不一开始就将四个方向上能直达的点的步数设置为N呢？再仔细想想，这不就是一个广度优先的搜索吗，而前面的递归方法是深度优先的，放到这个题目中显然不适用。于是重新实现了这个SearchPath函数，广度搜索通常需要一个辅助队列，为了方便这里不用链表而是直接开一个大的二维数组，每行可以存储单个空白格的两个坐标值。从起点开始扩散，一旦位于四条射线上的空白格的步数比原来的小，那么该坐标被加入队列准备进行下一次尝试，代码如下：

void searchPath(int start_row, int start_col, int end_row, int end_col)
{int arr[HEIGHT * WIDTH][2] = {{start_row, start_col}};int head = 0, tail = 1;while (head != tail){int start_row = arr[head][0], start_col = arr[head][1];int num_of_lines = matrix[start_row][start_col] + 1;for (int d = 0; d < 4; ++d){for (int next_row = start_row + DIRECTIONS[d][0], next_col = start_col + DIRECTIONS[d][1];next_row >= 0 && next_row < HEIGHT && next_col >=0 && next_col < WIDTH \&& matrix[next_row][next_col] != BLOCKED;next_row += DIRECTIONS[d][0], next_col += DIRECTIONS[d][1]){if (matrix[next_row][next_col] > num_of_lines){matrix[next_row][next_col] = num_of_lines;arr[tail][0] = next_row;arr[tail][1] = next_col;tail = (tail + 1) % (HEIGHT * WIDTH);}if (next_row == end_row && next_col == end_col && matrix[next_row][next_col] < min_nLines){min_nLines = matrix[next_row][next_col];}}}head = (head + 1) % (HEIGHT * WIDTH);}
}

采用这个新函数再试了下，程序运行速度比之前不知快了多少倍。由此要吸取教训，遇到问题时先思考，而不是冒然套用以往的经验，经验固然能帮助解决一些问题，但是慎重的思考还是要放在第一位。在这个程序的运行如下所示：

平时爱玩的连连看，满足消除的条件无非就是两个方块间的连线数最多为3，每消去一对方块就要做一次检测看看是否还能继续游戏。哪怕初始生成的牌面是有办法完全消除的，但玩家执行的步骤还是可能导致陷入死局，所以游戏里面常有“全部重排”的道具。即时检测应该不会太耗时间，毕竟只要有一对牌可消去便可终止测试，况且只需要完成步数为3的广度搜索就行了。即便是牌的数量非常密集需要搜个遍才能终止，这个过程以计算机的视角来看也不会太耗时（在这种情况下单张牌的搜索其实耗时少，四周都密不透风嘛）。实际开发中或许有更快的办法。

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