漫步微积分二十六——Sigma符号和一些特殊和

为了理清定积分，我们首先介绍一个标准的数学符号，它用于缩写长的求和公式。这就所谓sigma符号，用希腊字母Σ\Sigma表示。在希腊字母表中，字母Σ\Sigma对应于英语字母的SS，也就是sum的第一个字母。这可以帮助我们记住这个符号，提示我们是和或加运算。

如果给定一些数a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots ,a_n ，他们的和表示为

∑k=1nak(1)

\begin{equation} \sum_{k=1}^{n}a_k\tag1 \end{equation}

其中kk的变化范围是1到nn(即a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n)，所有这些数相加得到：

∑k=1nak=a1+a2+⋯+an

\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+\cdots+a_n

在(1)中σ\sigma下面是k=1k=1，上面是nn，也就说求和项aka_k从k=1k=1开始终止于k=nk=n。下标kk叫做和的索引，也可以用任何其他字母(如i,ji,j)。

∑k=15k3,∑i=15i3,and∑j=15j5

\sum_{k=1}^{5}k^3,\quad \sum_{i=1}^{5}i^3,\quad and\quad \sum_{j=1}^{5}j^5

他们都表示同一个和，即13+23+33+43+53=2251^3+2^3+3^3+4^3+5^3=225。

这里再给一些其他的例子：

∑k=13kk2+1∑k=14(−1)k+11k2∑k=1nk∑k=1n2k∑k=1n(2k−1)=112+1+222+1+332+1=112−122+132−142=1+2+⋯+n=2+4+⋯+2n=1+3+⋯+(2n−1)

\begin{align*} \sum_{k=1}^3\frac{k}{k^2+1} &=\frac{1}{1^2+1}+\frac{2}{2^2+1}+\frac{3}{3^2+1}\\ \sum_{k=1}^4(-1)^{k+1}\frac{1}{k^2} &=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}\\ \sum_{k=1}^nk &=1+2+\cdots+n\\ \sum_{k=1}^n2k &=2+4+\cdots+2n\\ \sum_{k=1}^n(2k-1) &=1+3+\cdots+(2n-1) \end{align*}

注意第二个求和公式中的因子(−1)k+1(-1)^{k+1}用于产生交替的正负符号+,−,+,−+,-,+,-。后三个分别是所有正整数之和，偶数之和，奇数之和。

还有一些来自基本代数的公式：

∑k=1nk∑k=1nk2∑k=1nk3=1+2+⋯+n=n(n+1)2=12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6=13+23+⋯+n3=[n(n+1)2]2(2)(3)(4)

\begin{align} \sum_{k=1}^nk &=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\tag2\\ \sum_{k=1}^nk^2 &=1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\tag3\\ \sum_{k=1}^nk^3 &=1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2\tag4 \end{align}

这些公式可以用数学归纳法来证明。然而，得到(2)更简单的方法是按自然顺序写出求和公式，再按相反的顺序写出来：

ss=1+2+⋯+n=n+(n−1)+⋯+1

\begin{align*} s&=1+2+\cdots+n\\ s&=n+(n-1)+\cdots+1 \end{align*}

将等式相加得2s=n(n+1)2s=n(n+1)，从而立马得到(2)。

还有一种方法可以来证明(2)，这需要知道一个事实，即(k+1)2=k2+2k=1(k+1)^2=k^2+2k=1，等价地

(k+1)2−k2=2k+1(5)

\begin{equation} (k+1)^2-k^2=2k+1\tag5 \end{equation}

如果我们让kk取1,2,3,…,n1,2,3,\ldots,n，就得到

22−1232−2242−32⋯(n+1)2−n2=2⋅1+1=2⋅2+1=2⋅3+1=2⋅n+1

\begin{align*} 2^2-1^2&=2\cdot 1+1\\ 3^2-2^2&=2\cdot 2+1\\ 4^2-3^2&=2\cdot 3+1\\ \cdots\\ (n+1)^2-n^2&=2\cdot n+1 \end{align*}

将他们相加并消元得

(n+1)2−12=2[∑k=1nk]+n

(n+1)^2-1^2=2\left[\sum_{k=1}^nk\right]+n

求出括号里的值即可得到(2)：

∑k=1nk=12[(n+1)2−12−n]=12[n2+n]=n(n+1)2

\begin{align*} \sum_{k=1}^nk&=\frac{1}{2}[(n+1)^2-1^2-n]=\frac{1}{2}[n^2+n]\\ &=\frac{n(n+1)}{2} \end{align*}

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