费马小定理（证明）

2024-05-08 07:09:34

费马小定理

费马小定理：a^(p-1) ≡ 1(mod p)
前提：p为质数，且a，p互质 //互质：a和p相同的因数为1.

先来看一下≡是什么：
a ≡ b (mod p) <=> a mod p = b mod p //a和b在模p的意义下同余
注释：<=> 两边相等

在证明之前，先给出引理：

(1)：如果p,c互质,并且a*c≡b*c(mod p)

证明过程：
∵a*c mod p = b*c mod p

∴(a*c - b*c) mod p = 0

∴(a-b)*c mod p = 0;

∴(a-b)*c 是p的倍数

∵p,c互质

∴k*p*c mod p = 0 //仔细看，这里的k*p是不是相当与上面的（a-b）?

∴(a-b) = k*p

∴(a-b) mod p = 0

(2) 若a1,a2,a3,a4,am 为 mod m的完全剩余系，m,b互质，那么
b*a1,b*a2,b*a3,b*a4......b*am也是mod m的完全剩余系。
P.S：完全剩余系：从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系。

证明过程：//利用反证法
假设存在一个 b*ai ≡ b*aj (mod p),由引理(1)可证 ai ≡ aj (mod p)
所以这个假设不成立。所以引理(2)成立。

回归正题

我们终于开始费马小定理的证明：

0,1,2,3,4...p-1是p的完全剩余系

∵a,p互质

∴a,2*a,3*a,4*a.......(p-1)*a也是mod p的完全剩余系

∴1*2*3.........*(p-1)*a ≡ a*2*a*3*a......(p-1)*a (mod p)

∴ (p-1)! ≡ (p-1)!*a^(p-1) (mod p)

两边同时约去(p-1)!

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

你以为完了吗？不，还没有，我们还可以用欧拉定理来证

对于质数p，任意整数a，均满足：ap≡a（mod p）

证明如下：

　　这个可以用欧拉定理来说明：

首先，我们把这个式子做一个简单变换得：ap-1 * a ≡ a（mod p）

因为a ≡ a（mod p）恒成立，所以ap-1 mod p == 1 时费马小定理才成立，

又因为p是质数，所以 φn == n-1 ,

所以根据欧拉定理：若a，p互质则ap-1 mod p == 1成立。

那么对于a，p不互质，因为p是质数，所以，a一定是倍数 ap ≡ a ≡ 0（mod p）。

综上所述，费马小定理成立，其实它算是欧拉定理的一个特例。

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