费马小定理看了等于没看证明

一开始我都不知道费马是个人，以为和胡不归问题起名方法一样，是个浪费马的小定理所以叫费马小定理

内容

若 p p p是质数，则对于任意整数 a a a，有 a p ≡ a^p \equiv ap≡ a ( m o d a(mod a(mod p ) p) p)。

证明

反过来两边同时除以 a a a我们可以得到 a p − 1 ≡ 1 a^{p-1} \equiv1 ap−1≡1 ( m o d (mod (mod p ) p) p)，所以此时可以把该问题转换为证明 a p − 1 a^{p-1} ap−1 m o d mod mod p = 1 p=1 p=1，随手举个例子也确实没什么大问题： a = 2 a=2 a=2， p = 3 p=3 p=3时 a p − 1 = 4 a^{p-1}=4 ap−1=4， 4 4 4 m o d mod mod 3 = 1 3=1 3=1，但是这只是个小数据的代入，所以不能看做是严格的证明。
a p − 1 a^{p-1} ap−1 m o d mod mod p = 1 p=1 p=1可以转化为 p × x = a p − 1 + 1 p \times x=a^{p-1}+1 p×x=ap−1+1，然后这个方法我就证不下来了……

换个思路

g c d ( a , p ) = 1 gcd(a,p)=1 gcd(a,p)=1，考虑 1 × a , 2 × a , 3 × a , … … ( p − 1 ) × a 1\times a,2\times a,3\times a,……(p-1)\times a 1×a,2×a,3×a,……(p−1)×a共 ( p − 1 ) (p - 1) (p−1)个数，将它们分别除以p，余数分别为 r 1 , r 2 , . . . . . , r p − 1 r_1,r_2,.....,r_{p-1} r1,r2,.....,rp−1，为集合{ 1 , 2 , 3... p − 1 1,2,3...p-1 1,2,3...p−1}的重新排列，即1.3…(p-1)在余数中恰好各出现一次;这是因为对于任两个相异 k × a k\times a k×a而言 ( k = 1 , 2 , 3... ( p − 1 ) ) (k=1,2,3...(p-1)) (k=1,2,3...(p−1))，其差不是p的倍数(所以不会有相同余数)，且任一个 k × a k\times a k×a亦不为 p p p的倍数(所以余数不为 0 0 0)。
因此 1 × 2 × 3..... ( p − 1 ) ≡ ( 1 × a ) × ( 2 × a ) . . . . ( ( p − 1 ) × a ) ( m o d 1\times 2\times 3.....(p-1)\equiv (1\times a)\times (2\times a)....((p-1)\times a) (mod 1×2×3.....(p−1)≡(1×a)×(2×a)....((p−1)×a)(mod p ) p) p)
即 W ≡ W × ( a p − 1 ) ( m o d p ) W \equiv W \times (a^{p-1}) (mod\ p) W≡W×(ap−1)(mod p)
在这里 W = 1 × 2 × 3 … × ( p − 1 ) W=1 \times 2\times 3…\times (p-1) W=1×2×3…×(p−1)，且 g c d ( W , p ) = 1 gcd(W,p)=1 gcd(W,p)=1
整理后可得费马小定理。
而费马小定理只是素数判定的一个必要条件，素数一定满足费马小定理，满足费马小定理的数，却不一定是素数。
另外一个应用就是求逆元。

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