剩余系，剩余定理，同余定理，费马小定理的证明

费马小定理：

证明：假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p）

一、准备知识：
所谓"剩余系"，就是指对于某一个特定的正整数n，一个整数集中的数模n所得的余数域。如果一个剩余系中包含了这个正整数所有可能的余数(一般地，对于任意正整数n，有n个余数:0,1,2,...,n-1)，那么就被称为是模n的一个完全剩余系。

  引理1．剩余系定理2
若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且(m,c)=1,则当ac≡bc(modm)时，有a≡b(modm)
证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)
引理2．剩余系定理5
若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]为m个整数，若在这m个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m构成完全剩余系。
证明：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1），所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余。取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1
引理3．剩余系定理7
设m是一个整数，且m>1，b是一个整数且(m,b)=1。如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的一个完全剩余系，则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系。
证明：若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m)，根据引理2则有a≡a[j](mod m)。根据完全剩余系的定义和引理4（完全剩余系中任意2个数之间不同余，易证明）可知这是不可能的，因此不存在2个整数ba和ba[j]同余。由引理5可知ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系。
引理4．同余定理6
如果a,b,c,d是四个整数，且a≡b(mod m),c≡d(mod m),则有ac≡bd(mod m)
证明：由题设得ac≡bc(mod m),bc≡bd(mod m)，由模运算的传递性可得ac≡bd(mod m)
二、证明过程：
构造素数p的完全剩余系P={1,2,3,4…(p-1)}，因为(a,p)=1，由引理3可得A={a,2a,3a,4a,…(p-1)a}也是p的一个完全剩余系。令W=1*2*3*4…*(p-1)，显然W≡W(mod p)。令Y=a*2a*3a*4a*…(p-1)a,因为{a,2a,3a,4a,…(p-1)a}是p的完全剩余系，由引理2以及引理4可得a*2a*3a*…(p-1)a≡1*2*3*…(p-1)(mod p)即W*a^(p-1)≡W(modp)。易知(W,p)=1，由引理1可知a^(p-1)≡1(modp）

剩余系，剩余定理，同余定理，费马小定理的证明相关推荐

同余定理逆元中国剩余定理费马小定理
同余定理同余定理是数论中的重要概念.给定一个正整数m,如果两个整数a和b满足(a-b)能够被m整除,即(a-b)/m得到一个整数,那么就称整数a与b对模m同余,记作a≡b(mod m). 两个整数a ...
luogu P2613 【模板】有理数取余（费马小定理，乘法逆元）
整理的算法模板合集: ACM模板目录题目传送门题目传送门相当于是一个高精的费马小定理求乘法逆元.虽然数据达到了101000110^{10001}1010001,但是我们可以使用快读然后一直模m ...
小结：数论四大定理（威尔逊定理+欧拉定理+中国剩余定理+费马小定理）
前置知识: 模运算消去律:ac ≡ bc (mod p) → a ≡ b (mod p/gcd(c,p) ) 威尔逊定理: 当且仅当p为素数时,( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 当且仅 ...
数论四大定理（欧拉定理、费马小定理、中国剩余定理、威尔逊定理）
前置知识同余假设 a,ba,ba,b 都是整数,如果 nnn 是一个正整数,且存在整数 kkk 使得 a−b=k×na−b=k \times na−b=k×n,则称 a,ba,ba,b 模 nnn ...
关于素数常用结论--威尔逊定理、欧拉定理、费马小定理、米勒罗宾算法
再需要判定的数比较大时,用枚举法肯定不行的,但目前数学界也没有任何一种又快又准确的判定素数的方法,并且也证明了素数不存在任何一种通项表达式.但作为初等数论中最大的一部分内容,数学家们对素数性质进行了大 ...
7. 数论四大定理（威尔逊定理、欧拉定理、费马小定理、孙子定理）
一.准备工作点击查看数论基础知识二.威尔逊定理威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件.但是由于阶乘是呈爆炸增长的,其结论对于实际操作意义不大. 1. 定理及其变形当且仅当p为素 ...
初等数论--同余--欧拉函数、欧拉定理、费马小定理
初等数论--同余--欧拉函数.欧拉定理.费马小定理概念同余类,既约同余类欧拉函数完全剩余系,既约剩余系关于完全剩余系.既约剩余系一些比较简单的定理欧拉定理.费马小定理博主是初学初等数论( ...
欧拉定理与费马小定理
一.互质与欧拉函数互质: ∀a,b∈N\forall a, b \in N∀a,b∈N,如果 gcd(a, b) = 1,则称 a, b 互质. 对于三个或以上的数,我们把 gcd(a, b ...
夜深人静写算法（三十二）- 费马小定理
文章目录一.前言二.费马小定理 1.费马小定理定义 2.费马小定理证明三.素数判定和伪素数 1.素数判定 2.伪素数四.费马小定理的应用 1.二分快速幂降幂 2.模 p 逆元 3.Rabin- ...
判断素数（费马小定理）
1)Sieve of Eratosthenes筛法由于一个合数总是可以分解成若干个质数的乘积,那么如果把质数(最初只知道2是质数)的倍数都去掉,那么剩下的就是质数了.例如要查找100以内的质数,首先 ...

剩余系，剩余定理，同余定理，费马小定理的证明

剩余系，剩余定理，同余定理，费马小定理的证明相关推荐

最新文章

热门文章