欧拉定理与费马小定理的证明过程

2024-05-14 05:11:28

转载自http://blog.csdn.net/Cold_Chair/article/details/52235196

内容：

在数论中，欧拉定理,(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:

折叠证明：

将1~n中与n互质的数按顺序排布:x1,x2……xφ(n) (显然，共有φ(n)个数)

我们考虑这么一些数:

m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n)

(1)

这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR (mod n) (这里假定mS更大一些)，就有:

mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。但是a与n互质，a与n的最大公因子是1，而xS-xR<nn,因而左式不可能被n整除。也就是说这些数中的任意两个都不模n同余，φ(n)个数有φ(n)种余数。

(2)

这些数除n的余数都与n互质：
我们知道a，xi与n互质，则a × xi 与n互质，根据欧几里得算法，则n与（a × xi） %n也互质。

那么这些数除n的余数，都在x1,x2,x3……xφ(n)中，因为这是1~n中与n互质的所有数，而余数又小于n.

由(1)和(2)可知，数m1,m2,m3……mφ(n)(如果将其次序重新排列)必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).

故得出:m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)

或者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3……xφ(n))≡x1*x2*x3……xφ(n)

或者为了方便:K{a^[φ(n)]-1}≡0 ( mod n ) 这里K=x1*x2*x3……xφ(n)。

可知K{a^[φ(n)]-1}被n整除。但K中的因子x1,x2……都与n互质，所以K与n互质。那么a^[φ(n)]-1必须能被n整除，即a^[φ(n)]-1≡0 (mod n)，即a^[φ(n)]≡1 (mod n)，得证。

费马小定理:

a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

证明这个定理非常简单，由于p是质数，所以有φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。推论:对于任意正整数a，有a^p ≡ a (mod p)，因为a能被p整除时结论显然成立。

欧拉定理与费马小定理的证明过程相关推荐

初等数论--同余--欧拉函数、欧拉定理、费马小定理
初等数论--同余--欧拉函数.欧拉定理.费马小定理概念同余类,既约同余类欧拉函数完全剩余系,既约剩余系关于完全剩余系.既约剩余系一些比较简单的定理欧拉定理.费马小定理博主是初学初等数论( ...
欧拉定理与费马小定理
一.互质与欧拉函数互质: ∀a,b∈N\forall a, b \in N∀a,b∈N,如果 gcd(a, b) = 1,则称 a, b 互质. 对于三个或以上的数,我们把 gcd(a, b ...
数论杂谈（欧拉定理与费马小定理结论与应用）
文章目录欧拉定理: 欧拉定理性质: 扩展欧拉定理: 费马小定理: 指数循环节费马大定理逆元: 例题原根定义: 原根存在条件例题快速幂代码矩阵快速幂原理: 代码: 欧拉定理: aφ( ...
剩余系，剩余定理，同余定理，费马小定理的证明
费马小定理: 证明:假如p是质数,且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1(mod p) 一.准备知识: 所谓"剩余系",就是指对于某一个特定的正整数n,一个整数集中的数模n所 ...
欧拉定理，费马小定理证明
今天呕心沥血地花了40分钟去研究欧拉定理的证明,终于是明白了,同时,作为欧拉儿子定理的费马小定理,自然毫无压力的搞定了. 为了方便随时查看,在这里转载一下(360百科). 内容: 在数论中,欧拉定理, ...
关于素数常用结论--威尔逊定理、欧拉定理、费马小定理、米勒罗宾算法
再需要判定的数比较大时,用枚举法肯定不行的,但目前数学界也没有任何一种又快又准确的判定素数的方法,并且也证明了素数不存在任何一种通项表达式.但作为初等数论中最大的一部分内容,数学家们对素数性质进行了大 ...
欧拉定理及费马小定理
欧拉定理 1.定义:若a于n互质,则aφ(n)≡1(modn)a^{\varphi(n)}\equiv1 (mod\quad n)aφ(n)≡1(modn),这里的φ()\varphi()φ()为欧拉 ...
数论四大定理（欧拉定理、费马小定理、中国剩余定理、威尔逊定理）
前置知识同余假设 a,ba,ba,b 都是整数,如果 nnn 是一个正整数,且存在整数 kkk 使得 a−b=k×na−b=k \times na−b=k×n,则称 a,ba,ba,b 模 nnn ...
【初等数论四大定理之三】欧拉定理，费马小定理，威尔逊定理
突然想整理一下几个定理及其证明. 欧拉定理若n,a为正整数,且n,a互质,则: 费马小定理: 假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a^(p-1)≡1(mod p) 求逆元方法之一:其实是欧拉 ...

最新文章

热门文章