剑指Offer：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法

暴力法

思路：

按照函数调用的递归树,记录符合条件的跳跃操作：

python代码：

class Solution:def __init__(self):self.solutions = 0passdef jump(self, start, end):if start > end:return 0elif start == end:return 1return self.jump(start + 1, end) + self.jump(start + 2, end)def jumpFloor(self, number):if number == 0:return 0self.solutions = self.jump(0, number)return self.solutionsif __name__ == '__main__':s = Solution()for i in range(0, 20):s.solutions = 0print(s.jumpFloor(i), end=',')

时间复杂度： $O(2^{n})$ - 递归访问所有的节点

空间负责度： $O(n)$ - 递归树可达的深度

记忆化递归

在暴力法递归中，存在很多重复的计算，因此可以对于特定台阶数记录其存在的方案数，以后直接访问记录即可。

python代码：

class Solution:def __init__(self):self.solutions = 0self.mem = []passdef jump(self, start, end):if start > end:return 0elif start == end:return 1if self.mem[start] > 0:return self.mem[start]self.mem[start] = self.jump(start + 1, end) + self.jump(start + 2, end)return self.mem[start]def jumpFloor(self, number):self.mem = [0 for _ in range(number)]if number == 0:return 0self.solutions = self.jump(0, number)return self.solutionsif __name__ == '__main__':s = Solution()for i in range(0, 20):s.solutions = 0print(s.jumpFloor(i), end=',')

时间复杂度： $O(n)$

空间负责度： $O(n)$

动态规划

由上述的方法，抛开时间复杂度和空间复杂度，我们已经可以找到一系列输出的序列。

根据一个神奇的网站：OEIS，我们可以找到序列之间存在的关系：斐波那契数列

python代码：

class Solution:def jumpFloor(self, number):res = [0, 1, 2]while len(res) <= number:res.append(res[-1]+res[-2])return res[number]if __name__ == '__main__':s = Solution()for i in range(0, 20):print(s.jumpFloor(i), end=',')

由于用res存储了对0～number不同长度的方案数目，所以

时间复杂度： $O(n)$

空间复杂度： $O(n)$ ，如果只记录长度为number时的方案数，空间复杂度可降低为 $O(1)$

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