1.11 多于空间维度的向量组

多于空间维度的向量组

二维平面中任意向量被二个以上向量表示时肯定不唯一，三维平面中任意向量被三个以上向量表示时肯定不唯一。这说明在二维空间中二个以上向量肯定是相关的，三维空间中三个以上向量肯定是相关的，那 mmm 维空间中多少个向量肯定相关呢？肯定是 mmm 个以上！

重要性质 mmm 维空间中任意 nnn 个向量（n>mn>mn>m），如果极大无关组是基，则任意向量被 nnn 个向量表示时有无穷多种。

证：假设前 mmm 个向量为 V=(v1,⋯,vm)V = (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_m})V=(v1,⋯,vm) ，是极大无关组，构成基，后 n−mn-mn−m 个向量为 U=(u1,⋯,un−m)U = (\mathbf{u_1},\cdots,\mathbf{u_{n-m}})U=(u1,⋯,un−m) 。 mmm 维空间中任意向量 y\mathbf{y}y ，则
y=(α1v1+⋯+αmvm)+(β1u1+⋯+βn−mun−m)\mathbf{y} = (\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_m\mathbf{v_m}) + (\beta_1\mathbf{u_1}+\cdots+\beta_{n-m}\mathbf{u_{n-m}}) y=(α1v1+⋯+αmvm)+(β1u1+⋯+βn−mun−m)
表示系数组 (β1,⋯,βn−m)(\beta_1,\cdots,\beta_{n-m})(β1,⋯,βn−m) 取任意值时，均存在唯一表示系数组 (α1,⋯,αm)(\alpha_1,\cdots,\alpha_{m})(α1,⋯,αm) 满足上式，故存在无穷多种表示系数组 (α1,⋯,αm,β1,⋯,βn−m)(\alpha_1,\cdots,\alpha_{m},\beta_1,\cdots,\beta_{n-m})(α1,⋯,αm,β1,⋯,βn−m) 表示任意向量 y\mathbf{y}y 。

重要性质： mmm 维空间中任意 nnn 个向量（n>mn>mn>m），如果极大无关组不是基，则空间存在向量不能被其表示。

重要性质： mmm 维空间中任意 nnn 个向量（n>mn>mn>m），必线性相关。

因为 mmm 维空间只有 mmm 个维度，所以必有向量不能张开单独的一维，是相关组。

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