点到面距离公式向量法_点到线或面的距离公式

我们知道高中解析几何或立体几何题中时常需要知道点到线的距离或点到面的距离。下面我们给出这两个公式以及它们的巧妙证明。

点到线的距离

已知直线

的方程为

，平面上任意一点

到该直线的距离

的公式为：

证明的方法非常之多，我们这里给出一种巧妙的做法，设从

做

的垂线得到垂足的坐标为

，则很显然

为

的法向量，

也为

的法向量（后有证明），那么我们有：

又因为

在

上，因此有

，代入上式即得：

点到面的距离

已知平面

的方程为

，空间任意一点

到该平面的距离

的公式为：

利用同样的做法，设从

做

的垂线得到垂足的坐标为

，则很显然

为

的法向量，

也为

的法向量（后有证明），那么我们有：

又因为

在

上，因此有

，代入上式即得：

线和面的法向量

对直线

，

为其法向量；对平面

，

为其法向量。我们以面为例给出证明，设

，

为面上的任意两点，则有：

由

得到

由于两点选择的任意性，我们得到

为平面

的法向量。

可以看到这两个距离公式非常方便记忆，掌握这两个公式也能加块对一些题目的求解。

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点到面的距离

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