近世代数--环同态--环的扩张定理

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

域的扩张定理用来将一已知的环扩大为某一具有特定性质的环。

Sˉ、R\bar{S}、RSˉ、R是环，Sˉ∩R=∅,φˉ:Sˉ→R\bar{S}\cap R=\empty,\bar{\varphi}:\bar{S}\rightarrow RSˉ∩R=∅,φˉ:Sˉ→R是单同态，
则

∃S,S\exists S,S∃S,S是环，S≅R,φ:S→RS\cong R,\varphi:S\rightarrow RS≅R,φ:S→R是同构，
S′≤S,S'\le S,S′≤S,
且φ∣sˉ=φˉ\varphi|\bar{s}=\bar{\varphi}φ∣sˉ=φˉ

证明：把已知环S′S'S′扩大为环SSS

构造环SSS：
- S=(R−φˉ(Sˉ))∪SˉS=(R-\bar{\varphi}(\bar{S}))\cup \bar{S}S=(R−φˉ(Sˉ))∪Sˉ
- 构造映射φ:S→R\varphi:S\rightarrow Rφ:S→R φ(x)={φˉ(x),x∈Sˉx,x∉Sˉ\varphi(x)=\left\{ \begin{aligned} \bar{\varphi}(x),x\in \bar{S}\\ x,x\notin \bar{S} \end{aligned} \right. φ(x)={φˉ(x),x∈Sˉx,x∈/Sˉ
  R∩Sˉ=∅→R−φˉ(Sˉ)∩Sˉ=∅→∣R−φˉ(Sˉ)∩Sˉ∣=∣R−φˉ(Sˉ)∣+∣Sˉ∣R\cap \bar{S}=\empty\\\rightarrow R-\bar{\varphi}(\bar{S})\cap \bar{S}=\empty\\\rightarrow |R-\bar{\varphi}(\bar{S})\cap \bar{S}|=|R-\bar{\varphi}(\bar{S})|+|\bar{S}|R∩Sˉ=∅→R−φˉ(Sˉ)∩Sˉ=∅→∣R−φˉ(Sˉ)∩Sˉ∣=∣R−φˉ(Sˉ)∣+∣Sˉ∣
  
  x∉Sˉ→φ(x)=x=R−φˉ(Sˉ)x\notin \bar{S}\rightarrow \varphi(x)=x=R-\bar{\varphi}(\bar{S})x∈/Sˉ→φ(x)=x=R−φˉ(Sˉ)
  x∈Sˉ→φ(x)=φˉ(x)=φˉ(Sˉ)x\in \bar{S}\rightarrow \varphi(x)=\bar{\varphi}(x)=\bar{\varphi}(\bar{S})x∈Sˉ→φ(x)=φˉ(x)=φˉ(Sˉ)
  →∀x∈S,φ(x)=(R−φˉ(Sˉ))+φˉ(Sˉ)=R\rightarrow\forall x\in S,\varphi(x)=(R-\bar{\varphi}(\bar{S}))+\bar{\varphi}(\bar{S})=R→∀x∈S,φ(x)=(R−φˉ(Sˉ))+φˉ(Sˉ)=R
  
  φ:S→R,φ(x)=R,→φ\varphi:S\rightarrow R,\varphi(x)=R,\rightarrow \varphiφ:S→R,φ(x)=R,→φ是满映射；
  φˉ:Sˉ→R\bar{\varphi}:\bar{S}\rightarrow Rφˉ:Sˉ→R是单同态,恒等映射f(x)=xf(x)=xf(x)=x是单同态，→φ\rightarrow \varphi→φ是单映射；
  →φ\rightarrow \varphi→φ是双射，且φ∣Sˉ=φˉ\varphi|\bar{S}=\bar{\varphi}φ∣Sˉ=φˉ
- 加法运算、乘法运算：
  
  ∀x,y∈S,x+y=φ−1(φ(x)+φ(y))x⋅y=φ−1(φ(x)⋅φ(y))\forall x,y\in S,\\x+y=\varphi^{-1}(\varphi(x)+\varphi(y))\\x·y=\varphi^{-1}(\varphi(x)·\varphi(y))∀x,y∈S,x+y=φ−1(φ(x)+φ(y))x⋅y=φ−1(φ(x)⋅φ(y))
通过定义集合S,S,S,以及集合上的代数运算，易得集合SSS满足减法封闭、乘法封闭，所以SSS是环。
φ\varphiφ是同态

φ(x+y)=φ(x)+φ(y)φ(x⋅y)=φ(x)⋅φ(y)\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)\\\varphi(x·y)=\varphi(x)·\varphi(y)φ(x+y)=φ(x)+φ(y)φ(x⋅y)=φ(x)⋅φ(y)
Sˉ≤S\bar{S}\le SSˉ≤S

∀x,y∈Sˉ,x+Sy=φ−1(φ(x)+Rφ(y))=φ−1(φˉ(x)+φˉ(y))=φ−1(φˉ(x+Sˉ(y))=φ−1(φ(x+Sˉy))=x+Sˉy\forall x,y\in \bar{S},\\x+_{S}y\\=\varphi^{-1}(\varphi(x)+_{R}\varphi(y))\\=\varphi^{-1}(\bar{\varphi}(x)+\bar{\varphi}(y))\\=\varphi^{-1}(\bar{\varphi}(x+_{\bar{S}}(y))\\=\varphi^{-1}(\varphi(x+_{\bar{S}}y))\\=x+_{\bar{S}}y∀x,y∈Sˉ,x+Sy=φ−1(φ(x)+Rφ(y))=φ−1(φˉ(x)+φˉ(y))=φ−1(φˉ(x+Sˉ(y))=φ−1(φ(x+Sˉy))=x+Sˉy

同理，x⋅Sy=x⋅Sˉyx·_{S}y=x·_{\bar{S}}yx⋅Sy=x⋅Sˉy

所以，SSS的代数运算在Sˉ\bar{S}Sˉ上的限制就是Sˉ\bar{S}Sˉ的代数运算，Sˉ≤S\bar{S}\le SSˉ≤S

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