欧几里得空间——正交矩阵

设 $\varepsilon _1,\varepsilon _2,...,\varepsilon _n$ 与 $\eta _1,\eta _2,...,\eta _n$ 是欧氏空间V在的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是 $A=(a_{ij}),$ 即 $(\eta _1,\eta _2,...,\eta _n)=(\varepsilon _1,\varepsilon _2,...,\varepsilon _n)\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \vdots &\vdots &&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{matrix} \right ).$ 因为 $\eta _1,\eta _2,...,\eta _n$ 是标准正交基，所以 $(\eta _i,\eta _j)=\left\{\begin{matrix}1 ,i=j,\\0,i\neq j.\end{matrix} \right$ 矩阵A的各项就是 $\eta _1,\eta _2,...,\eta _n$ 在标准正交基 $\varepsilon _1,\varepsilon _2,...,\varepsilon _n$ 下的坐标，可以表示为 $a_{1i}a_{1j}+a_{2i}a_{2j}+...+a_{ni}a_{nj}=\left{\begin{matrix}1,i=j,\\0,i\neq j. \end{matrix} \right }$ 相当于一个矩阵的等式A'A=E,或者 $A^{-1}=A'.$

定义7

n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A=E.

由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基。

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