空间正交基的定义_高等代数|第九章欧几里得空间子空间与对称变换

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摘要：本节主要介绍欧氏空间中子空间与对称变换在考研中的考察，对于子空间的考察而言，更多的侧重于考察正交补空间；而对于对称变换，大家一定要熟记定义，看到对称变换的时候，知道如何使用定义去处理题目，达到解决问题的目的.

一.子空间

定义1. 设是欧氏空间V中的两个子空间.如果对于任意的恒有

则称为正交的，记为一个向量α，如果对于任意的恒有

则称α与子空间记作α

因为只有零向量与它自身正交，所以由可知由可知α=0.

定理1. 如果子空间两两正交，那么和是直和.

证明：设且

我们来证明这就是说，和

是直和.

定义2. 子空间称为子空间的一个正交补，如果，并且显然，如果是的正交补,那么也是的正交补.

定理2. n维欧氏空间V的每一个子空间都有唯一的正交补.

证明：如果那么它的正交补就是V，唯一性显然. 下面设

欧氏空间的子空间在所定义的内积之下也是一个欧氏空间.在中取一组基

进一步把它扩充为V的一组正交基

显然，子空间

就是的正交补. 再来证明唯一性.设都是的正交补，于是

令由第二式即有

其中.

因为所以有

即由此可知即

同理可证

因此唯一性得证.

的正交补记作由定义可知

二.对称变换

定义3.在欧氏空间V中，线性变换如果满足

那么称是V上的对称变换.

例1.设是n维欧氏空间V上的线性变换，则

证明：由于

所以只需要证明

任取

则且存在

使得

，于是结合是对称变换有

于是可得α=0，即

从而可得

例2.设是欧氏空间V上的一个对称变换，如果W是的不变子空间，那么也是的不变子空间.

证明：任取由于W是的不变子空间，因此对于任意有

从而

因此于是是的不变子空间.

岩宝小提示：这一题就是不变子空间和对称变换的结合，大家一定要记住!!!

例3.已知是是n维欧氏空间V上的线性变换，

是V的一组基，其度量矩阵为在这组基下的矩阵为A，则为对称变换的充要条件为

证明：设

是V中任意的两个向量，于是

于是

在对称变换的基础上，大家和岩宝一起探究一下实对称矩阵的不同特征子空间是正交的，这一性质在解题中的应用.

例4.已知是一个3级正定矩阵，1是的一个2重特征值，且A的每行元素之和都为3，求矩阵A.

证明：因为A的每行元素之和都为3，所以可知

，

令

，对于ξ单位化，即，

是属于特征值3的单位特征向量，同时在设是属于特征值1的两个正交的单位特征向量，记

，

则T是一个正交矩阵，且

，

于是

因为T为正交矩阵可知即有

于是

将上式代入(1)中可得

故得到存在且唯一的矩阵

三.岩宝同步思考练习

1.已知3级正定矩阵A的三个特征值为6,3,3，且是属于特征值6的一个特征向量,求A. 2.已知4阶实对称矩阵A的特征值为1(三重)，-3，且

是属于特征值1的特征向量，求矩阵A.

3.(2017华南理工大学)设σ为欧氏空间V上的对称变换，证明：对任意的α∈V都有

的充分必要条件为σ的特征值全是非负实数. 4.(2003武汉大学)设为维欧氏空间的对称变换，证明：

5.设σ是n维欧氏空间V上的一个对称变换，则V中存在一个标准正交基，使得σ在这个基下的矩阵为对角矩阵.

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