函数空间：人为定义的满足一定规则的对象所组成集合。

我们最常用到的规则为：拓扑、距离、范数、内积；
它们的限制是依次增强的，如果拓扑是植物，那么距离就是水果，范数就是热带水果，内积就是热带甜味水果。
（拓扑是弱化了的距离，距离定义了距离，范数在距离的基础上增加了||ax||=|a|·||x||，内积在范数的基础上引入了角度）

另一个规则是线性结构：对加法和数乘封闭，同时满足条件

需要注意的是，这里的加法和数乘的定义并不局限于通常意义上，只要满足条件即可，例如：

第三个规则是完备性：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。简单来说就是进行极限运算时不会玩出圈儿。

有了以上的基本认识，我们就可以对具有各种性质的空间进行分类和命名啦~

以拓扑为规则的空间叫拓扑空间；以距离为规则的空间叫度量空间；以范数为规则的空间为赋范空间；以内积为规则的空间叫内积空间(内积空间已具有线性结构，有限维内积空间就是欧几里得空间)。
然后再加上线性结构这一规则就可以分别得到：拓扑线性空间、线性度量空间和线性赋范空间。
线性赋范空间引入完备性就构成巴拿赫空间，内积空间引入完备性就构成希尔伯特空间。

下面给出一张帮助理解的图：

参考文献

上海交通大学公开课《数学之旅》
CSDN博文 欧几里得空间与希尔伯特空间
如何理解希尔伯特空间？ - TimXP的回答 - 知乎

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