奇妙的等式精妙的证明（二）

奇妙的等式 && 精妙的证明

1. f(x)=1+x1+x1+…−−−−−−√−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−√f(x)=\sqrt{1+x\sqrt{1+x\sqrt{1+\ldots}}}

受奇妙的等式 && 精妙的证明第五题化简的启发，本问题天然是一个无穷级数形式，多一项少一项对结果没有太大的影响，因此

f(x)=1+xf(x)−−−−−−−−√

f(x)=\sqrt{1+xf(x)}

最终计算得到

f(x)=x+x2+4−−−−−√2

f(x)=\frac{x+\sqrt{x^2+4}}2

当 x=1x=1 时，f(1)=1+5√2f(1)=\frac{1+\sqrt5}2，也即黄金分割比：

1+1+1+…−−−−−−√−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−√=1+5√211+1+1+…−−−−−−√−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−√=5√−12

\begin{split} \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}=\frac{1+\sqrt5}2\\ \frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}=\frac{\sqrt5-1}2 \end{split}

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