证明二维正态分布中的参数ρ为相关系数

在二维正态分布中，参数 ρ\rhoρ 被定义为随机变量 X,YX,YX,Y 的相关系数，即 ρ=r(x,y)\rho=r(x,y)ρ=r(x,y)。由

r(x,y)=Cov(x,y)Var[x]Var[y]Cov(x,y)=E[XY]−E[X]E[Y]r(x,y)=\frac{Cov(x,y)}{\sqrt{Var[x]Var[y]}} \\ Cov(x,y)=E[XY]-E[X]E[Y] r(x,y)=Var[x]Var[y]Cov(x,y)Cov(x,y)=E[XY]−E[X]E[Y]

即可证明。由于 E[XY]E[XY]E[XY] 的求解较为繁琐，本文记录此过程。

假设随机变量 (X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)(X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，求 E[XY]E[XY]E[XY]。

解：

E[XY]=∫−∞∞dx∫−∞∞xy2πσ1σ21−ρ2exp⁡{−12(1−ρ2)((x−μ1)2σ12−2ρ(x−μ1)(y−μ2)σ1σ2+(y−μ2)2σ22)}dy=12πσ1σ21−ρ2∫−∞∞xexp⁡{−12(1−ρ2)((x−μ12)σ12)}dx∫−∞∞yexp⁡{−12(1−ρ2)(−2ρ(x−μ1)(y−μ2)σ1σ2+(y−μ2)2σ22)}dy\begin{aligned} E[XY]&=\int_{-\infty}^\infty { \text dx\int_{-\infty}^\infty { \frac{xy} { 2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2} } \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left( \frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right) \right\} \text dy } } \\ &=\frac{1} { 2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2} } \int_{-\infty}^\infty { x \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left(\frac{(x-\mu_1^2)}{\sigma_1^2}\right) \right\} \text dx\int_{-\infty}^\infty { y \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left( -2\rho\frac {(x-\mu_1)(y-\mu_2)} {\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right) \right\} \text dy } } \end{aligned} E[XY]=∫−∞∞dx∫−∞∞2πσ1σ21−ρ2xyexp{−2(1−ρ2)1(σ12(x−μ1)2−2ρσ1σ2(x−μ1)(y−μ2)+σ22(y−μ2)2)}dy=2πσ1σ21−ρ21∫−∞∞xexp{−2(1−ρ2)1(σ12(x−μ12))}dx∫−∞∞yexp{−2(1−ρ2)1(−2ρσ1σ2(x−μ1)(y−μ2)+σ22(y−μ2)2)}dy

作代换 x→σ1x+μ1,y→σ2y+μ2x\rightarrow\sigma_1x+\mu_1,y\rightarrow\sigma_2y+\mu_2x→σ1x+μ1,y→σ2y+μ2，则

E[XY]=12π1−ρ2∫−∞∞(σ1x+μ1)exp⁡{−12(1−ρ2)x2}dx∫−∞∞(σ2y+μ2)exp⁡{−12(1−ρ2)(−2ρxy+y2)}dy\begin{aligned} E[XY]&=\frac{1} { 2\pi\sqrt{1-\rho^2} } \int_{-\infty}^\infty { (\sigma_1x+\mu_1) \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)}x^2 \right\} \text dx\int_{-\infty}^\infty { (\sigma_2y+\mu_2) \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left( -2\rho xy+y^2 \right) \right\} \text dy } } \end{aligned} E[XY]=2π1−ρ21∫−∞∞(σ1x+μ1)exp{−2(1−ρ2)1x2}dx∫−∞∞(σ2y+μ2)exp{−2(1−ρ2)1(−2ρxy+y2)}dy

由于

∫−∞∞exp⁡(−x2+2kxl2)dx=∫−∞∞exp⁡[−(x−k)2+k2l2]dx=exp⁡k2l2∫−∞∞exp⁡(−u2l2)du=lexp⁡k2l2∫−∞∞exp⁡(−v2)dv=lexp⁡k2l2π∫−∞∞xexp⁡(−x2+2kxl2)dx=∫−∞∞xexp⁡[−(x−k)2+k2l2]dx=exp⁡k2l2∫−∞∞(u+k)exp⁡(−u2l2)du=exp⁡k2l2l∫−∞∞(vl+k)exp⁡(−v2)dv=klexp⁡k2l2π\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty { \exp \left( \frac{-x^2+2kx}{l^2} \right) \text dx } &= \int_{-\infty}^\infty { \exp \left[ \frac{-(x-k)^2+k^2}{l^2} \right] \text dx } \\ &= \exp\frac{k^2}{l^2} \int_{-\infty}^\infty { \exp \left( -\frac{u^2}{l^2} \right) \text du } \\ &= l\exp\frac{k^2}{l^2} \int_{-\infty}^\infty { \exp \left( -v^2 \right) \text dv } \\ &= l\exp\frac{k^2}{l^2}\sqrt{\pi} \\ \int_{-\infty}^\infty { x\exp \left( \frac{-x^2+2kx}{l^2} \right) \text dx } &= \int_{-\infty}^\infty { x\exp \left[ \frac{-(x-k)^2+k^2}{l^2} \right]\text dx } \\ &= \exp\frac{k^2}{l^2} \int_{-\infty}^\infty { (u+k)\exp(-\frac{u^2}{l^2})\text du } \\ &= \exp\frac{k^2}{l^2}l \int_{-\infty}^\infty { (vl+k)\exp(-v^2)\text dv } \\ &= kl\exp\frac{k^2}{l^2}\sqrt{\pi} \end{aligned} ∫−∞∞exp(l2−x2+2kx)dx∫−∞∞xexp(l2−x2+2kx)dx=∫−∞∞exp[l2−(x−k)2+k2]dx=expl2k2∫−∞∞exp(−l2u2)du=lexpl2k2∫−∞∞exp(−v2)dv=lexpl2k2π=∫−∞∞xexp[l2−(x−k)2+k2]dx=expl2k2∫−∞∞(u+k)exp(−l2u2)du=expl2k2l∫−∞∞(vl+k)exp(−v2)dv=klexpl2k2π

因此

E[XY]=12π∫−∞∞(σ1x+μ1)(σ2ρx+μ2)exp⁡{−x22}dx=μ1μ2+ρσ1σ2\begin{aligned} E[XY]&=\frac{1} { \sqrt{2\pi} } \int_{-\infty}^\infty { (\sigma_1x+\mu_1)(\sigma_2\rho x+\mu_2) \exp \left\{ -\frac{x^2}{2} \right\} \text dx } \\ &= \mu_1\mu_2+\rho\sigma_1\sigma_2 \end{aligned} E[XY]=2π1∫−∞∞(σ1x+μ1)(σ2ρx+μ2)exp{−2x2}dx=μ1μ2+ρσ1σ2

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