矩阵等式 matrix identity（二）

矩阵等式 matrix identity（numpy仿真）

矩阵乘法

Am×n⋅Bn×p=∑jA(:,j)B(j,:)

A_{m\times n}\cdot B_{n\times p}=\sum_{j}A(:,j)B(j,:)

>> rng('default');
>> A = randi(3, 2, 3); B = randi(3, 3, 2);
>> A*Bans =11    1612    15>> C = zeros(size(A, 1), size(B, 2));
>> for j = 1:size(A, 2),
C = C + A(:, j) * B(j, :);
end>> C
C =11    1612    15

矩阵的迹（trace）

矩阵的迹等于其对角元素之和；

function t = trace(A)
if ~ismatrix(A) || size(A,1)~=size(A,2)error(message('MATLAB:trace:square'));
end
t = full(sum(diag(A)));

基本性质：

∥A∥2F=tr(A′×A)=tr(A×A′)

\|A\|_F^2=tr(A'\times A)=tr(A\times A')

>> A = magic(3);>> norm(A, 'fro')^2
ans =285.0000>> trace(A'*A)
ans =285>> trace(A*A')
ans =285

矩阵的 F 范数是全体元素平方和，
A′×AA'\times A：其对角线元素分别为列的平方和，
A×A′A\times A'：其对角线元素分别为行的平方和再相加。
本质上都等于：∑∑A.2\sum\sum A.^2

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