奇妙的等式精妙的证明

33+43+53=633^3+4^3+5^3=6^3（216）

1. 等差数列的和与组合数

1+2+⋯+(n−1)=(n2)

1+2+\cdots+\left(n-1\right)=\binom n2

等式的奇妙性在于：建立起等差数列与组合数的关系。

来看一个精妙的证明：

对最后一行任取两个做组合，正好唯一对应于一个黄圆（全部的黄圆即为等式的左端）。遍历所有组合，可正好取。

2. 2 的幂次与组合数的和

(n0)+(n1)+⋯+(nn)=2n

\binom n0+\binom n1+\cdots+\binom nn=2^n
证明很简单：

(1+1)2=(n0)1n10+⋯

\left(1+1\right)^2=\binom n01^n1^0+\cdots

3. 移动数字使等式成立

26−63=1

2^6-63=1

4. (x+1)(x−1)=x2−1(x+1)(x-1)=x^2-1 的证明

使用演绎法证明的思路为：

或者对等式左边进行展开
或者对等式右端进行配方：x2−x+x−1=(x−1)(x+1)x^2-x+x-1=(x-1)(x+1)

但是如果有人告诉你，使用归纳法的思路：

x=0x=0 代入，等式两端都是 -1
x=1x=1，两边都是 0
x=2x=2，两边都是 3

是否可以由此说明，(x+1)(x−1)=x2−1(x+1)(x-1)=x^2-1 位恒等式呢？

是可以的，那为什么呢？

如果 (x+1)(x−1)=x2−1(x+1)(x-1)=x^2-1 不是恒等式，它就是一个不超过 2 次的方程，这种方程至多有两个根（包括重根在内），现在竟有 3 个“根”了，那它就不是一个二次方程或一次方程，所以是恒等式。

按照此道理，要判断一个最高次为 3 的灯饰是否为恒等式，只需用 4 个（不同的）数验证即可。

4 次用 5 个值；
5 次用 6 个值；
nn 次用 n+1n+1 个值；

这就叫用举例的方法验证恒等式，或者叫多点例证法（归纳）；

5. 化简 x=1+1+1+1+x−−−−−√−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√x=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}}

将等式右边的部分 1+1+1+1+x−−−−−√−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}}，整体代入到原式的第二个 xx，循环往复，将原始等式最终转换为无穷级数形式。

也即：

x=1+1+1+1+…−−−−−−√−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

x=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}

所以可将等号右边的，根号下边、加号右边的统一替换为 xx（既然是无穷迭代，多一项少一项对结果没有影响），

x=1+x−−−−−√

x=\sqrt{1+x}