关于e的等式及相关证明

ee的定义式是一切的起点：

e=limn→∞(1+1n)n

e=\lim_{n\to\infty}(1+\frac1n)^n

据此我们来看这样一个关于 ee 的近似值（本质仍然是上式）：

e≈(1+9−47×6)3285

e\approx (1+9^{-4^{7\times 6}})^{3^{2^{85}}}

二者有着极高的接近度；

最美丽的数学公式——Euler Identity

eiπ+1=0

e^{i\pi}+1=0

万变不离其宗的泰勒展开

ex=∑n=0∞xnn!

e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}

证明limn→−∞(1+1n)n=e\lim\limits_{n\to-\infty}(1+\frac1n)^n=e

limn→−∞(1+1n)n=limn→−∞[(1−1−n)−n]−1=limn→∞1(1−1n)n=limn→∞(nn−1)n=limn→∞(1+1n−1)n=e

\begin{split} \lim\limits_{n\to-\infty}(1+\frac1n)^n&=\lim\limits_{n\to-\infty}[(1-\frac1{-n})^{-n}]^{-1}\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{(1-\frac1n)^n}\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}(\frac n{n-1})^n\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}{(1+\frac1{n-1})^n}=e \end{split}

证明limn→∞(1−1n)n=e\lim\limits_{n\to\infty}(1-\frac1n)^n=e（e和全体自然数之间的关系）

limn→∞(1−1n)n=limn→∞[(1+1−n)−n]−1=limn→−∞[(1+1n)n]−1=1e

\begin{split} \lim\limits_{n\to\infty}(1-\frac1n)^n&=\lim\limits_{n\to\infty}[(1+\frac1{-n})^{-n}]^{-1}\\ &=\lim\limits_{n\to-\infty}[(1+\frac1n)^n]^{-1}\\ &=\frac1e \end{split}

证明e=10!+11!+12!+13!+⋯e=\frac1{0!}+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots

e=limn→∞(1+1n)n=(n0)+(n1)1n+(n2)(1n)2+(n3)(1n)3+⋯=1+nn+12!nnn−1n+13!nnn−1nn−2n+⋯=limn→∞(1+nn+12!nnn−1n+13!nnn−1nn−2n+⋯)=10!+11!+12!+13!+⋯

\begin{split} e&=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac1n)^n\\ &=\binom n 0 +\binom n 1\frac1n+\binom n 2(\frac1n)^2+\binom n 3 (\frac1n)^3+\cdots\\ &=1+\frac nn+\frac1{2!}\frac nn\frac{n-1}n+\frac1{3!}\frac nn\frac{n-1}n\frac{n-2}n+\cdots\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac nn+\frac1{2!}\frac nn\frac{n-1}n+\frac1{3!}\frac nn\frac{n-1}n\frac{n-2}n+\cdots)\\ &=\frac 1{0!}+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots \end{split}

另有一个等式：

1−12+13−14+⋯=ln2

1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\ln2

展开limn→∞(1−1n)n=1e\lim\limits_{n\to\infty}(1-\frac1n)^n=\frac1e

1e=limn→∞(1−1n)n=(n0)+(n1)(−1)1(1n)+(n2)(−1)2(1n)2+(n3)(−1)3(1n)3+⋯=10!−11!+12!−13!+⋯

\begin{split} \frac1e&=\lim\limits_{n\to\infty}(1-\frac1n)^n\\ &=\binom n 0 + \binom n 1 (-1)^1(\frac1n)+\binom n 2 (-1)^2(\frac1n)^2+\binom n 3 (-1)^3(\frac1n)^3+\cdots\\ &=\frac1{0!}-\frac1{1!}+\frac1{2!}-\frac1{3!}+\cdots \end{split}

统一于泰勒展开

ex=∑n=0∞xnn!

e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}

连分数

e=2+11+12+23+34+45+⋯

e = 2+\frac{1}{1+\frac1{2+\frac2{3+\frac3{4+\frac4{5+\cdots}}}}}

自然数的全体是ee的基因。

与调和级数

γ=limn→∞(∑n=1∞1n−lnn)≈0.5772156649⋯

\gamma=\lim_{n\to\infty}(\sum_{n=1}^\infty\frac1n-\ln n)\approx 0.5772156649\cdots

指数函数的微分不变性

首先我们考虑这样一个问题，什么样的函数在微分运算（号称恶魔运算：照妖镜？）之后还能保持原型：

f′(x)=f(x)?

f'(x)=f(x)?

给定这样一个函数：

f(x)=1+x+x22!+x33!+x44!+⋯

f(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots
对其进行求导，得：

f′(x)=0+1+x+x22!+x33!+x44!+⋯

f'(x)=0+1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots

观察f(x)f(x)有一个特点，后一项的导数是前一项。

最终符合条件f′(x)=f(x)f'(x)=f(x)的函数是：

f(x)=1+x+x22!+x33!+⋯+xnn!+⋯=∑n=0∞xnn!

f(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

也即满足(xnn!)′=xn−1(n−1)!(\frac{x^n}{n!})'=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}

这里我们可进行f(x)f(x)与exe^x关系的论证：
已知e=limn→∞(1+1n)ne=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac1n)^n，可得：

e2=limn→∞(1+1n)2n=limn→∞(1+22n)2n=limn→∞(1+2n)n

e^2=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac1n)^{2n}=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac2{2n})^{2n}=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac2n)^n

由(1+1n)n=1+(n1)1n+(n2)1n2+(n3)1n3+⋯=1+11+12!+13!+⋯(1+\frac1n)^n=1+\binom{n}{1}\frac1n+\binom{n}{2}\frac1n^2+\binom{n}{3}\frac1n^3+\cdots=1+\frac1{1}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots可知：

(1+2n)n==1+(n1)2n+(n2)2n2+(n3)2n3+⋯1+112+12!22+13!23+⋯

\begin{split} (1+\frac2n)^n=&1+\binom{n}{1}\frac2n+\binom{n}{2}\frac2n^2+\binom{n}{3}\frac2n^3+\cdots\\ =&1+\frac1{1}2+\frac1{2!}2^2+\frac1{3!}2^3+\cdots \end{split}

有理由推论ex=1+x+12!x2+13!x3+⋯e^x=1+x+\frac1{2!}x^2+\frac1{3!}x^3+\cdots

我们再来看欧拉给出的exe^x的定义：

ex=limn→∞(1+xn)n

e^x=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac xn)^n

自然指数函数和它的导数恒等(ex)′=ex(e^x)'=e^x，这实际上是指数函数所有性质的来源，并且在的应用中之所以重要的根本原因。