高等数学（七）- 多元函数微分学(2)【多元函数极值问题】

本节为高等数学复习笔记的第七部分，多元函数微分学（2），主要包括：多元函数极值得必要条件与充分条件，以及两道例题。

2. 多元函数极值

2.1 二元函数取极值的必要条件（适用于多元）

设z=f(x,y)在点(x0,y0)处一阶偏导数设z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处一阶偏导数设z=f(x,y)在点(x0,y0)处一阶偏导数存在且取极值存在且取极值存在且取极值，则有fx′(x0,y0)=fy′(x0,y0)=0则有f'_x(x_0,y_0)=f'_y(x_0,y_0)=0则有fx′(x0,y0)=fy′(x0,y0)=0。

2.2 二元函数取极值的充分条件（不适用于多元）

记A=fxx′′(x0,y0)，B=fxy′′(x0,y0)，A=fyy′′(x0,y0)记A=f_{xx}''(x_0,y_0)，B=f_{xy}''(x_0,y_0)，A=f_{yy}''(x_0,y_0)记A=fxx′′(x0,y0)，B=fxy′′(x0,y0)，A=fyy′′(x0,y0)，令Δ=B2−AC（二元海森矩阵）则：令\Delta=B^2-AC（二元海森矩阵）则：令Δ=B2−AC（二元海森矩阵）则：
1）Δ<0⟹极值点：A<0→极大值1）\Delta<0\Longrightarrow极值点：A<0\rightarrow极大值1）Δ<0⟹极值点：A<0→极大值，
A>0→极小值；A>0\rightarrow极小值；A>0→极小值；
2）Δ>0⟹非极值；2）\Delta>0\Longrightarrow 非极值；2）Δ>0⟹非极值；
3）Δ=0⟹方法失效。3）\Delta=0\Longrightarrow 方法失效。3）Δ=0⟹方法失效。

2.3 例题

eg1(无条件极值：隐函数).eg1(无条件极值：隐函数).eg1(无条件极值：隐函数).设z=z(x,y)由x2−6xy+10y2−2yz−z2+18=0（式1）确定设z=z(x,y)由x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0（式1）确定设z=z(x,y)由x2−6xy+10y2−2yz−z2+18=0（式1）确定，试求z=z(x,y)的极值点和极值试求z=z(x,y)的极值点和极值试求z=z(x,y)的极值点和极值。
I.用必要条件求出可疑点PI.用必要条件求出可疑点PI.用必要条件求出可疑点P，即根据zx′=zy′=0求P点即根据z_x'=z_y'=0求P点即根据zx′=zy′=0求P点。对式1两边一次求x，y的偏导：对式1两边一次求x，y的偏导：对式1两边一次求x，y的偏导：
{2x−6y−2yzx′−2zzx′=0−6x+20y−2z−2yzy′−2zzy′=0⟹\begin{cases}2x-6y-2yz_x'-2zz_x'=0\\-6x+20y-2z-2yz_y'-2zz_y'=0\end{cases}\Longrightarrow{2x−6y−2yzx′−2zzx′=0−6x+20y−2z−2yzy′−2zzy′=0⟹

{x−3y−(y+z)zx′=0（式2）−3x+10y−z−(y+z)zy′=0（式3）\begin{cases} x-3y-(y+z)z_x'=0（式2）\\-3x+10y-z-(y+z)z_y'=0（式3） \end{cases}{x−3y−(y+z)zx′=0（式2）−3x+10y−z−(y+z)zy′=0（式3）

令{zx′=0zy′=0，得{x−3y=0−3x+10y−z=0，即{x=3yz=y令\begin{cases}z_x'=0\\z_y'=0\end{cases}，得\begin{cases}x-3y=0\\-3x+10y-z=0\end{cases}，即\begin{cases}x=3y\\z=y\end{cases}令{zx′=0zy′=0，得{x−3y=0−3x+10y−z=0，即{x=3yz=y
代入式1，得可疑点P1(9,3),z1=3;代入式1，得可疑点P_1(9,3),z_1=3;代入式1，得可疑点P1(9,3),z1=3;
P2(−9,−3),z2=−3P_2(-9,-3),z_2=-3P2(−9,−3),z2=−3。
II.用充分条件判别可疑点II.用充分条件判别可疑点II.用充分条件判别可疑点，对式2再求x的偏导对式2再求x的偏导对式2再求x的偏导：1−(zx′)2−(y+z)zxx′=01-(z_x')^2-(y+z)z_{xx}'=01−(zx′)2−(y+z)zxx′=0，对式2再求y的偏导对式2再求y的偏导对式2再求y的偏导：−3−(1+zy′)zx′−(y+z)zxy′′=0-3-(1+z_y')z_x'-(y+z)z_{xy}''=0−3−(1+zy′)zx′−(y+z)zxy′′=0，对式3再求y的偏导数对式3再求y的偏导数对式3再求y的偏导数：10−zy′−(1+zy′)zy′−(y+z)zyy′′=010-z_y'-(1+z_y')z_y'-(y+z)z_{yy}''=010−zy′−(1+zy′)zy′−(y+z)zyy′′=0，
又结合：zx′=zy′=0又结合：z_x'=z_y'=0又结合：zx′=zy′=0，
推出zxx′′=1y+z，zxy′′=−3y+z，zyy′′=10y+z推出z_{xx}''=\frac1{y+z}，z_{xy}''=\frac{-3}{y+z}，z_{yy}''=\frac{10}{y+z}推出zxx′′=y+z1，zxy′′=y+z−3，zyy′′=y+z10
对于P1,z1=3,A=16,B=−12,C=53,Δ1=−136;对于P_1,z_1=3,A=\frac16,B=-\frac12,C=\frac53,\Delta_1=-\frac1{36};对于P1,z1=3,A=61,B=−21,C=35,Δ1=−361;
∴Δ1<0且A>0，则P1点式极小值点，z1是极小值\therefore\Delta_1<0且A>0，则P_1点式极小值点，z_1是极小值∴Δ1<0且A>0，则P1点式极小值点，z1是极小值；同理P2点。同理P_2点。同理P2点。

eg2(无条件极值：显函数)求f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的极值eg2(无条件极值：显函数)求f(x,y)=x^2(2+y^2)+ylny的极值eg2(无条件极值：显函数)求f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的极值
解：fx′(x,y)=2x(2+y2),fy′=2x2y+lny+1解：f_x'(x,y)=2x(2+y^2),f_y'=2x^2y+lny+1解：fx′(x,y)=2x(2+y2),fy′=2x2y+lny+1，
令fx′=fy′=0，得点(0,1e)令f_x'=f_y'=0，得点(0,\frac1e)令fx′=fy′=0，得点(0,e1)，则A=fxx′′(0,1e)=(2+1e2)，B=0，C=e则A=f_xx''(0,\frac1e)=(2+\frac1{e^2})，B=0，C=e则A=fxx′′(0,e1)=(2+e21)，B=0，C=e，有：B2−AC<0，A>0有：B^2-AC<0，A>0有：B2−AC<0，A>0，∴f(x,y)在驻点(0,1e)处取得极小值−1e\therefore f(x,y)在驻点(0,\frac1e)处取得极小值-\frac1e∴f(x,y)在驻点(0,e1)处取得极小值−e1。

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