高数 | 【多元函数微分学概念篇】连续、可偏导及可微之间的关系

2024-04-10 10:42:20

（一）重极限（多元函数的极限）

要掌握简单求重极限的方法，在判断连续性，特别是判断可微性时会用到。

高数 | 【多元函数微分学】多元函数求极限方法总结_西皮呦的博客-CSDN博客_多元函数求极限的方法总结

注：

（二）连续

1）定义

多元函数无间断点的分类，因为花样太多。

2）性质

多元函数也有零点定理，因为用的太少，这里不给出。

考点：会用定义判断多元函数在该点的连续性。

（三）偏导数

注：

这里是偏增量，全微分才用到全增量。

★★★ 偏导数本质上就是一元函数的导数。

★★★ 故求多元函数偏导，可以先代后求，也可以用定义。如：

★★★ 求分界点、不连续点处或者求出偏导函数后无法代入某点时，则需要用定义求偏导数。

（四）全微分、可微

全微分与全增量：

可微：

注：函数不一定是在任何一点偏导数连续，故函数可微推不出偏导数各点连续。

可微的几何意义

（五）连续、可偏导及可微之间的关系

注：偏导连续默认指一阶偏导连续

多元函数与一元函数的区别就在第一张图的蓝色框框。

而这一切的一切都是因为偏导引起的。为什么呢？

偏导实际上就是固定x或固定y，一条线上的导数。偏导只与这两条线上的函数值有关。

而连续要求任意方向趋向某点的极限都...

可微就更不肯能了，可微要求的是全增量，你偏导就给我一个方向的增量，我不干。

注：

一元函数
一元函数连续不一定可导，连续不一定可微： |x|
一元函数可微与可导互为充要条件证明：高数 | 一元可微与可导(互为充要条件证明)_西皮呦的博客-CSDN博客_一元函数可微的证明
一元函数的可导与可微等价，可通俗的认为二者均表示曲线连续且光滑，且切线无竖直情况。

多元函数经典反例
多元函数可导不一定连续：
多元函数可导不一定可微：
可微一定可偏导，反之不成立：两个线属性存在，并不能推出一个可微的面属性！
可微是一个曲面点处的切平面存在且不可垂直于xoy 平面，可导是一个曲面点处沿着x,y轴的切线存在。所以有切面一定有切线，但是切线不一定连成切面。所以可微一定可导。可导不一定可微。

二元函数f在其定义域内某点是否连续与偏导数是否存在无关。

判断可导、可微、连续的注意事项：
1、在一元的情况下，可导=可微->连续，可导一定连续，反之不一定。
2、二元就不满足以上的结论，在二元的情况下：
（1）偏导数存在且连续，函数可微，函数连续。
（2）偏导数不存在，函数不可微，函数不一定连续。
（3）函数不可微，偏导数不一定存在，函数不一定连续。
（4）函数连续，偏导数不一定存在,函数不一定可微。
（5）函数不连续，偏导数不一定存在,函数不可微。

题型：讨论连续性、可导性、可微性

D

A、连续 B、可导 D、x和y都要趋向

回顾四个等价形式。

参考文章：

kaysen学长：二元微分，连续、可微、可偏导、偏导连续的超强通俗解析！ - 知乎
为什么偏导数连续，函数就可微？_马同学图解数学的博客-CSDN博客_偏导数连续为什么一定可微

这篇文章写得也忒好了！！给哥哥倒一杯卡布奇诺 ~

高数 | 【多元函数微分学概念篇】连续、可偏导及可微之间的关系相关推荐

二元函数可微与可导的关系_函数连续、可导与可微之间的关系
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 函数连续.可导与可微之间的关系作者:刘春燕来源:<速读 · 下旬> 2017 年第 09 期摘要:本文分别就一元函数与二 ...
高数精髓——极限存在、连续、可导、可微和可积之间的联系
参考文献: 1.函数的极限.连续与可导 - 期刊论文 - 道客巴巴 http://www.doc88.com/p-7478979748698.html 结论(一元函数范畴内) 可导与连续的关系:可导必 ...
连续，可导，可微之间的关系
可导和可微等价,可导能推出连续,连续推不出可导在可导在连续. 一点可导只能推一点连续,不能推导函数连续. 在某邻域可导推不出在连续,也推不出导函数极限存在. 举例:=,x非0, 0时等于0 处处可导 ...
多元函数连续、可导、可微之间的关系
另外:一阶偏导数存在不一定可微,必须要连续才是可微的必要条件多元函数的可微性见链接
【高等数学】函数连续、可导、可微，洛必达法则使用条件、一阶可导、一阶连续可导、二阶可导、二阶连续可导
目录一.一元函数连续.可导.可微之间的关系二.洛必达的使用条件三.洛必达使用要注意的地方 1.等式右边极限存在 2.每导一步注意检查是否满足0/0,或∞/∞ 3.求导时注意函数怎么求导更简化四 ...
【高数】高数第一章节——极限无穷连续与间断
高数第一章节--极限&无穷&连续与间断 0.博主高数相关章节目录 1.数列极限 1.1 定义(important) 1.2 例题-数列极限 1.3 收敛数列性质 1.3.1 有界性 1 ...
高数极限存在、连续、有界、可积、可导/可微之间的关系
极限存在.连续.有界.可积.可导/可微之间的关系
二元函数连续与偏导数存在的关系_怎样理解多元函数，连续与偏导存在的关系，偏导连续之间的关系...
展开全部多元函数连续不是偏导存在的充分条件也不是必要条件.62616964757a686964616fe78988e69d8331333366306464 而偏导连续则是更强的条件,即偏导存在且连续 ...
二元函数可微与偏导数_二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系-推荐下载...
目录摘要 -----------------------------------1 关键词 ----------------------------------1 Abstract-------- ...

最新文章

热门文章