面试智力题:天平称球
题目:现有12个球,其中有一个球和其他的球重量不一样,但是外形还是一样的,现在要求你用一个天平在只称3次的情况下找出不一样的这个球来?如果换成13个球那又怎么样呢?
题目自己很早以前就看过,但是答案当时没怎么想出来,看过网上答案。刚才一个同学在群上讨论,发现自己还是通过网上找答案,没有想出来。从网上找到正解,供自己学习。
12球:将球分为a b c d; e f g h; i j k l 三组。
第一次称量,比较 abcd efgh
情形一:两者重量相等,此时说明答案在ijkl中。
称量ij,如果相等,说明答案在kl中。拿k与a比较,如果相等,答案为l;如果不等,答案为k。
如果不等,说明答案在ij中。拿i与a比较,如果相等,答案为j;如果不等,答案为i。
情形二:abcd轻。
在efgh中取出fgh,替换掉abcd中的bcd。 在ijkl中取出jkl,补充到原来fgh的位置。
如果afgh轻,说明答案为a或e。称量ab,如果相等,答案为e;如果不等,答案为a。
如果afgh重,说明答案在fgh中。称量fg,如果相等,答案为h;如果不等,重者为答案。
如果一样重,答案在bcd中。称量bc,如果相等,答案为d;如果不等,轻者为答案。(不是很理解为什么不等轻者为答案)
情形三:abcd重。
在efgh中取出fgh,替换掉abcd中的bcd。 在ijkl中取出jkl,补充到原来fgh的位置。
如果afgh重,答案为a或e。称量ab,如果相等,答案为e;如果不等,答案为a。
如果afgh轻,答案在fgh中。称量fg,如果相等,答案为h;如果不等,轻者为所求。
如果一样重,答案在bcd中。称量bc,如果相等,答案为d;如果不等,重者为答案。
类似的要求区分十三个球中质量不同的一个,
13球:将13球分为4球,4球,5球三组.
第一次称两个4球组,若不相等,则5球组全是标准球.然后就可以用12球类似的办法解决了;
若两个4球组相等,则异常球存在于5球组.5球编号为abcde,从两个4球组中任取一个作为标准球,编号f.
第二次称ab&cf,若ab=cf,则异常球在de中,abc均为标准球.第三次称a&d,若相等则e为异常球,若不等则d为异常球.
若ab>cf,则异常球在abc中(a重b重或c轻),de为标准球.第三次称a&b,若相等则c为异常球,若不等则重者为异常球.
若ab<cf,则异常球在abc中(a轻b轻或c重),de为标准球.第三次称a&b,若相等则c为异常球,若不等则轻者为异常球.
(在这里,我称和其它重量不同的一个球为异常球,其余为标准球)
思考1:
在不知道异常球是轻是重的情况下,称2次最多可以从几球中找出异常球?
结论1:如果没有标准球,称2次最多可以从4球中找出异常球(设这4球标号abcd)。
其称法如下:
第一次称a&b, 若a=b,则异常球在cd中,ab均为标准球.第二次称a&c,若相等则d为异常球,若不等则c为异常球.
若a>b,则异常球在ab中(a重或b轻),cd为标准球.第二次称a&c,若相等则b为异常球,若不等则a为异常球.
若a<b,则异常球在ab中(b重或a轻),cd为标准球.第二次称a&c,若相等则b为异常球,若不等则a为异常球.
结论2:如果有标准球(设为f),称2次最多可以从5球中找出异常球(设这5球标号abcde)。
其称法如下:
第一次称ab&cf,若ab=cf,则异常球在de中,abc均为标准球.第二次称a&d,若相等则e为异常球,若不等则d为异常球.
若ab>cf,则异常球在abc中(a重b重或c轻),de为标准球.第二次称a&b,若相等则c为异常球,若不等则重者为异常球.
若ab<cf,则异常球在abc中(a轻b轻或c重),de为标准球.第二次称a&b,若相等则c为异常球,若不等则轻者为异常球.
思考2:
在知道异常球是轻是重的情况(设异常球重)下,称2次最多可以从几球中找出异常球?
结论:称2次最多可以从9球中找出异常球。
其称法如下:
将9球分为3组,每组3个,任取两组称第一次.如果相等异常球在没称的一组中,如果不等则在重的一组中.
将选出的3球任取两个来称,若相等则另一个为异常球,若不等则重者为异常球.(网上一人的评论:不过我感觉他也没有给出很好的证明他的结论是正确的,虽然我举不出反例)
小结:计算机专业学生看到此题目,马上联想到二分。从题目分析可以看到,有时二分不是最优的,这时要考虑三分,四分以及不等分。
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