线性递推数列的特征根解法

1.线性递推方程

简单的说，对于一个数列，设f(n)f(n)f(n)为该数列的第n项，如果我们找到了一个递推式，使得f(n)可以表示为它前面的若干项的常系数一次多项式，则称它是一个线性递推数列。
如斐波那契数列：f(n)=f(n−1)+f(n−2)f(n)=f(n-1)+f(n-2)f(n)=f(n−1)+f(n−2) 就是一个线性递推方程。
卡特兰数列：f(n)=∑i=0n−1f(i)f(n−1−i)f(n)=\sum_{i=0}^{n-1}f(i)f(n-1-i)f(n)=∑i=0n−1f(i)f(n−1−i)就不是一个线性递推方程。
线性递推方程又可以分为齐次和非齐次两种。
齐次线性递推方程是指除了数列中的若干项的线性组合外，没有其他部分了。
如f(n)=f(n-1)+f(n-2)。这是一个齐次线性递推方程。
而如果还存在其他项且不为0，则是非齐次线性递推方程。
如果f(n)=f(n-1)+f(n-2)+C(n)，C(n)是一个非0的项，它可以是常数，也可以是关于n的一个函数。那么它就是非齐次线性递推方程。
如果线性递推方程中f(n)表示为其前k项的线性组合，则称它为k阶线性递推方程。

2.齐次线性递推方程的通解

我们发现，对于一个k阶齐次线性递推方程：(1)an=p1an−1+p2an−2+⋯+pkan−ka_n=p_1a_{n-1}+p_2a_{n-2}+\dots+p_ka_{n-k} \tag{1}an=p1an−1+p2an−2+⋯+pkan−k(1)，要想唯一的确定的该数列，必须给出k个初始值{a0,a1,…,ak−1a_0,a_1,\dots,a_{k-1}a0,a1,…,ak−1}。如果不给出初始值，则可能会有许多的数列都符合这个递推式。这些数列可以称之为此递推式的通解。
我们发现等比数列比较符合这种齐次线性递推方程式。设公比为q，线性递推方程两边乘上公比，左边可以由ana_nan转移到an+1a_{n+1}an+1，等式仍然成立。我们大胆假设an=xn,(x≠0)a_n=x^n,(x \neq 0)an=xn,(x̸=0),代入上述递推方程式，则有(2)xn=p1xn−1+p2xn−2+⋯+pkxn−kx^n=p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+\dots+p_kx^{n-k} \tag{2}xn=p1xn−1+p2xn−2+⋯+pkxn−k(2)
因为x不为0，所以两边除以xn−kx^{n-k}xn−k,得到(3)xk=p1xk−1+p2xk−2+⋯+pkx^k=p_1x^{k-1}+p_2x^{k-2}+\dots+p_k \tag{3}xk=p1xk−1+p2xk−2+⋯+pk(3)
考虑复根，这个方程有k个根.我们先假设没有重根。那么，这k个根都能使得(1)成立。
于是我们可以得到原k阶齐次线性递推方程(1)的k个数列，第i个数列即是一个公比为xix_ixi的等比数列。
根据乘法分配律，我们知道，如果α\alphaα和β\betaβ是符合(1)的两个数列，则数列C1α+C2βC_1\alpha+C_2\betaC1α+C2β也符合式(1)。所以，式(1)的k个解的任意线性组合也是式（1）的解。我们称这k个等比数列为式(1)的基底。于是我们可以知道式(1)的通解可以表示为以下形式：
an=C1x1n+C2x2n+⋯+Ckxkna_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n+\dots+C_kx_k^nan=C1x1n+C2x2n+⋯+Ckxkn
设线性递推方程的表示的数列的前k项值为{b0,b1,…,bk−1b_0,b_1,\dots,b_{k-1}b0,b1,…,bk−1}，则有
(4){C1x10+C2x20+⋯+Ckxk0=b0C1x11+C2x21+⋯+Ckxk1=b1……C1x1k−1+C2x2k−1+⋯+Ckxkk−1=bk−1\left \{ \begin{array} {rcl} C_1x_1^0+C_2x_2^0+\dots+C_kx_k^0&=&b_0 \\ \\C_1x_1^1+C_2x_2^1+\dots+C_kx_k^1&=&b_1 \\ \\ \dots \\ \dots \\ \\ C_1x_1^{k-1}+C_2x_2^{k-1}+\dots+C_kx_k^{k-1}&=&b_{k-1}\end{array}\right.\tag{4}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧C1x10+C2x20+⋯+Ckxk0C1x11+C2x21+⋯+Ckxk1……C1x1k−1+C2x2k−1+⋯+Ckxkk−1===b0b1bk−1(4)

用矩阵表示为：
(11…1x11x21…xk2⋮⋮⋮⋮x1k−1x2k−1…xkk−1)(C1C2⋮Ck)=(b0b1⋮bk−1)\left( \begin{matrix} 1 & 1 &\dots & 1 \\ x_1^1 &x_2^1 & \dots &x_k^2 \\ \vdots & \vdots&\vdots &\vdots \\ x_1^{k-1} &x_2^{k-1} & \dots &x_k^{k-1} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} C_1 \\ C_2 \\ \vdots \\ C_k \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} b_0 \\b_1 \\ \vdots \\b_{k-1} \end{matrix} \right)⎝⎜⎜⎜⎛1x11⋮x1k−11x21⋮x2k−1……⋮…1xk2⋮xkk−1⎠⎟⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎜⎛C1C2⋮Ck⎠⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎛b0b1⋮bk−1⎠⎟⎟⎟⎞

其中第一个矩阵为著名的范德蒙德矩阵，它的行列式为
(5)∏1≤j<k≤n(xk−xj)\prod_{1\leq j < k \leq n}(x_k-x_j) \tag{5} 1≤j<k≤n∏(xk−xj)(5),因为没有重根，所以行列式值不为0。所以该矩阵有逆矩阵，方程(4)有解。
于是可以得到齐次线性递推方程的通解。
如果有重根，设重根为x1=x2，则方程在x1处的导数为0。
根据式(3)，得：
(6)kxk−1=p1(k−1)xk−2+p2(k−2)xk−3+⋯+pk−1kx^{k-1}=p_1(k-1)x^{k-2}+p_2(k-2)x^{k-3} +\dots+p_{k-1} \tag{6}kxk−1=p1(k−1)xk−2+p2(k−2)xk−3+⋯+pk−1(6)
因为x不为0，两边再乘上x，得到：
(7)kxk=p1(k−1)xk−1+p2(k−2)xk−2+⋯+pk−1x+pk∗0∗x0kx^k=p_1(k-1)x^{k-1}+p_2(k-2)x^{k-2}+\dots+p_{k-1}x+p_k*0*x^0 \tag{7}kxk=p1(k−1)xk−1+p2(k−2)xk−2+⋯+pk−1x+pk∗0∗x0(7)
将(3)+(7)，然后再乘上x，则可得：
(k+1)xk+1=p1kxk+p2(k−1)xk−1+⋯+pk−12x2+pkx(k+1)x^{k+1}=p_1kx^k+p_2(k-1)x^{k-1}+\dots+p_{k-1}2x^2+p_kx(k+1)xk+1=p1kxk+p2(k−1)xk−1+⋯+pk−12x2+pkx
当x取x1时，等式成立。
由此可见,nx1n构成的数列nx_1^n构成的数列nx1n构成的数列也是线性递推方程的一个解。
于是通解ana_nan可写为：
an=(C1+nC2)x1n+C3x2n+⋯+Ckxk−1na_n=(C_1+nC_2)x_1^n+C_3x_2^n+\dots+C_kx_{k-1}^nan=(C1+nC2)x1n+C3x2n+⋯+Ckxk−1n

3.非齐次线性递推方程的通解

给出一个线性递推方程：(8)an+p1an−1+p2an−2+⋯+pkan−k=f(n)a_n+p_1a_{n-1}+p_2a_{n-2}+\dots+p_ka_{n-k}=f(n)\tag{8}an+p1an−1+p2an−2+⋯+pkan−k=f(n)(8)

若f(n)f(n)f(n)不为0，则式(8)称为非齐次线性递推方程。f(n)f(n)f(n)可以为常数，也可以为关于n的多项式，也可以为以n为指数的表达式。
对于这类方程，我们可以通过构造法，将它变成齐次线性递推方程。
构造tnt_ntn满足:tn+p1tn−1+p2tn−2+⋯+pktn−k=f(n)t_n+p_1t_{n-1}+p_2t_{n-2}+\dots+p_kt_{n-k}=f(n)tn+p1tn−1+p2tn−2+⋯+pktn−k=f(n)
其中tnt_ntn称为非线性递推方程的特解。

设bn=an−tnb_n=a_n-t_nbn=an−tn.
则bnb_nbn满足：
(9)bn+p1bn−1+p2bn−2+⋯+pkbn−k=0b_n+p_1b_{n-1}+p_2b_{n-2}+\dots+p_kb_{n-k}=0 \tag{9}bn+p1bn−1+p2bn−2+⋯+pkbn−k=0(9)
bnb_nbn可以通过齐次线性递推方程求解。
它是齐次线性递推方程的通解。于是an=bn+tna_n=b_n+t_nan=bn+tn，即非齐次线性递推方程的解可由齐次方程的通解和特解求得。
那如何求tnt_ntn呢？
可以用待定系数法求出。
一般情况下，若f(n)为常数，则t_n也可以设为常数，若f(n)为n的m次多项式，则tnt_ntn也可以设为n的m次多项式，若f(n)为指数形式，如f(n)=qnf(n)=q^nf(n)=qn,则可以设tn=rqnt_n=rq^ntn=rqn或tn=rnqnt_n=rnq^ntn=rnqn的形式。然后用待定系数法解出。

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