Frobenius标准型与Jordan标准型总结

1.数域不同

Frobenius标准型：任意数域P

Jordan标准型：复数域

Jordan标准型，可以形式化理解为把Frobenius标准型中的d(λ)继续分解,进而细化到一次因式的乘机，因此Frobenius标准型为任意数域，Jordan标准型为复数域

2.小块性质

Frobenius块性质：

行列式因子：1….1, d(λ)

不变因子为：1….1, d(λ)

特征多项式：d(λ)

最小多项式：d(λ)

Jordan块：

行列式因子：1….1, $\left (\lambda-\lambda_{0} \right ) ^{k}$

不变因子：1….1, $\left (\lambda-\lambda_{0} \right ) ^{k}$

初等因子： $\left (\lambda-\lambda_{0} \right ) ^{k}$

特征多项式： $\left (\lambda-\lambda_{0} \right ) ^{k}$

最小多项式： $\left (\lambda-\lambda_{0} \right ) ^{k}$

两种块的区别：

Frobenius块与不变因子d(λ)一一对应，其中deg(d(λ))为Frobenius阶数

Jordan块与初等因子(λ-λ0)^k一一对应，k为Jordan块阶数，λ0为主对角线元素

3.标准型

Jordan标准型被复矩阵A的初等因子组唯一确定，块数等于初等因子个数，每块阶数等于相应初等因子幂次

Frobenius标准型被任意数域P上矩阵A的非1不变因子唯一确定，块数等于非1不变因子个数，每块阶数等于相应非1不变因子次数

4.应用

Frobenius标准型：

A的Frobenius标准型为对角形等价于A=aE

A有互不相同的特征值等价于Frobenius标准型由1块组成

Jordan标准型

下列等价（λ矩阵判断对角化）

1．复矩阵A可对角化，即Jordan标准型为对角型

2．A的初等因子全为1次

3．A的极小多项式无重根，即为两两互素一次因式的乘积

下列等价

1．复矩阵A相似于数量阵aE,即Jordan标准型为aE

2．A的初等因子全为1次且相同

3．A的极小多项式为一次因式

5.Jordan标准型应用

由Jordan标准型，可得到A的：

特征值，迹，行列式，秩

初等因子，不变因子，行列式因子，极小多项式，特征多项式

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