Hash函数碰撞概率公式

生日问题

这个问题在数学上早有原型，叫做"生日问题"（birthday problem）：一个班级需要有多少人，才能保证每个同学的生日都不一样？

答案很出人意料。如果至少两个同学生日相同的概率不超过5%，那么这个班只能有7个人。事实上，一个23人的班级有50%的概率，至少两个同学生日相同；50人班级有97%的概率，70人的班级则是99.9%的概率（计算方法见后文）。

这意味着，如果哈希值的取值空间是365，只要计算23个哈希值，就有50%的可能产生碰撞。也就是说，哈希碰撞的可能性，远比想象的高。实际上，有一个近似的公式。

上面公式可以算出，50% 的哈希碰撞概率所需要的计算次数，N 表示哈希的取值空间。生日问题的 N 就是365，算出来是 23.9。这个公式告诉我们，哈希碰撞所需耗费的计算次数，跟取值空间的平方根是一个数量级。

这种利用哈希空间不足够大，而制造碰撞的攻击方法，就被称为生日攻击（birthday attack）。

生日问题数学推导

这一节给出生日攻击的数学推导。

至少两个人生日相同的概率，可以先算出所有人生日互不相同的概率，再用 1 减去这个概率。

我们把这个问题设想成，每个人排队依次进入一个房间。第一个进入房间的人，与房间里已有的人（0人），生日都不相同的概率是365365\frac{365}{365}365365；第二个进入房间的人，生日独一无二的概率是364365\frac{364}{365}365364；第三个人是363365\frac{363}{365}365363，以此类推。

因此，n个人(n<366n<366n<366)的生日都不相同的概率，就是下面的公式。
p‾(n)=1∗364365∗363365∗....∗365−n+1365\overline{p}(n)=1\ast\frac{364}{365}\ast\frac{363}{365}\ast....\ast\frac{365-n+1}{365}p(n)=1∗365364∗365363∗....∗365365−n+1

那么，至少有两个人生日相同的概率，就是 1 减去上面的公式。
p(n)=1−p‾(n)p(n)=1-\overline{p}(n)p(n)=1−p(n)

哈希碰撞的公式

在高数中，根据泰勒公式，指数函数 exe^xex 可以用多项式展开。

exp(x)=∑k=0∞xkk!=1+x+x22+x36+...exp(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+...exp(x)=∑k=0∞k!xk=1+x+2x2+6x3+...

当x是一个极小值的时候，那么上面的公式近似等于下面的形式。
ex≈1+xe^x \approx 1+xex≈1+x

现在把生日问题的1365\frac{1}{365}3651带入：
364365=1−1365≈e−1365\frac{364}{365}=1-\frac{1}{365}\approx e^{-\frac{1}{365}}365364=1−3651≈e−3651

所以p‾(n)\overline{p}(n)p(n)可以写成如下的公式：
p‾(n)≈1∗e−1365∗e−2365∗...∗e−n−1365\overline{p}(n)\approx 1\ast e^{-\frac{1}{365}}\ast e^{-\frac{2}{365}}\ast ...\ast e^{-\frac{n-1}{365}}p(n)≈1∗e−3651∗e−3652∗...∗e−365n−1
化简为：
p‾(n)=e−n(n−1)730\overline{p}(n)=e^{-\frac{n(n-1)}{730}}p(n)=e−730n(n−1)

所以p(n)=1−p‾(n)=1−e−n(n−1)730p(n)=1-\overline{p}(n)=1-e^{-\frac{n(n-1)}{730}}p(n)=1−p(n)=1−e−730n(n−1)

假设d为取值空间（生日问题中是365），那么就得到一般化的公式：
p(n,d)≈1−e−n(n−1)2dp(n,d)\approx 1-e^{-\frac{n(n-1)}{2d}}p(n,d)≈1−e−2dn(n−1)

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