矩阵理论| 基础：Jordan标准型（从Jordan标准型求代数重数/几何重数/特征向量）

引言：如何判定两个矩阵相似

相似矩阵，本质上是同一个线性变换在不同坐标系下的矩阵
因此，两个矩阵相似的一大特点是：特征值相同，各特征值的几何重数/代数重数相同

进而，我们可以用特征多项式、特征值、行列式、迹、秩等相似不变量来迅速辅助判定两个矩阵是否相似，但这些都不是充要条件

两个矩阵相似的充要条件：两个矩阵具有相同的Jordan标准型（包含了大量信息，如特征值、代数/几何重数、特征向量和可对角化判定的信息，下面会说明）

Jordan标准型是一整个“相似矩阵大家族”的典型代表，根据相似关系的传递性，上述结论显然

Jordan标准型

Jordan标准型可以视为一种“矩阵三角化”。（ps. 也可以理解为一种由Jordan块构成的主对角分块矩阵）

对于n阶方阵 A \mathbf A A，一定存在正交矩阵/酉矩阵 Q \mathbf Q Q使 A \mathbf A A相似于上三角阵： A = Q U Q T \mathbf A=\mathbf Q\mathbf U\mathbf Q^T A=QUQT，详见矩阵三角化的 Schur 定理
如果将正交矩阵改为普通的可逆矩阵 P \mathbf P P，同样可以得到上三角阵 J \mathbf J J，即Jordan标准型： A = P J P − 1 \mathbf A=\mathbf P\mathbf J\mathbf P^{-1} A=PJP−1

为何要三角化？Jordan标准型是由于无法相似对角化而提出的，而上三角阵就是最接近对角矩阵的“最佳形式”

Jordan标准型的一般形式

任何方阵 A \mathbf A A都相似于一个Jordan标准型: A = P J P − 1 \mathbf A=\mathbf P\mathbf J\mathbf P^{-1} A=PJP−1

Jordan标准型 J \mathbf J J由多个Jordan块组成
J = [ J m 1 ( λ 1 ) 0 ⋯ 0 0 J m 2 ( λ 2 ) ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 ⋯ J m k ( λ k ) ] ，其中 J m i ( λ i ) = [ λ i 1 ⋱ ⋱ ⋱ 1 λ i ] m i × m i \mathbf J=\left[\begin{array}{cccc} J_{m_1}\left(\lambda_{1}\right) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{m_2}\left(\lambda_{2}\right) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots \\ 0 & 0 & \cdots & J_{m_k}\left(\lambda_{k}\right) \end{array}\right]，其中J_{m_i}\left(\lambda_{i}\right)=\left[\begin{array}{cccc} \lambda_{i} & 1 & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda_{i} \end{array}\right]_{m_i\times m_i} J= Jm1(λ1)0⋮00Jm2(λ2)⋮0⋯⋯⋱⋯00⋱Jmk(λk) ，其中Jmi(λi)= λi1⋱⋱⋱1λi mi×mi
一般默认的排列顺序为 λ 1 ≥ λ 2 ≥ . . . ≥ λ k \lambda_1\geq\lambda_2\geq...\geq\lambda_k λ1≥λ2≥...≥λk

每个Jordan块 J ( λ i ) J\left(\lambda_{i}\right) J(λi)的对角线上为特征值 λ i \lambda_{i} λi，对角线上方全为1

Jordan标准型中隐含的信息

特征值： J \mathbf J J的所有主对角元 λ 1 , . . . , λ k \lambda_1,...,\lambda_k λ1,...,λk
特征值 λ i \lambda_i λi的代数重数 β i \beta_i βi： J \mathbf J J的对角线上 λ i \lambda_i λi的出现次数（特征值 λ i \lambda_i λi的重根数）
ps. 代数重数满足 β i + β 2 + . . . + β k = n \beta_i+\beta_2+...+\beta_k=n βi+β2+...+βk=n
特征值 λ i \lambda_i λi的几何重数 n i n_i ni：主对角元为 λ i \lambda_i λi的Jordan块个数
（一个Jordan块对应一个独立的特征向量/一个几何重数）

矩阵可对角化，那么其所有特征值的几何重数=代数重数，也就是说其Jordan标准型中所有的Jordan块都必须为1阶的

或者说，可对角化矩阵，其Jordan标准型就是一个对角矩阵
某个Jordan块的特征向量（不是原矩阵 A \mathbf A A的特征向量）：

每个Jordan块可以被写为 J m ( λ ) = [ λ 1 ⋱ ⋱ ⋱ 1 λ ] = [ λ ⋱ ⋱ λ ] + [ 0 1 ⋱ ⋱ ⋱ 1 0 ] = λ I m + J m ( 0 ) \begin{aligned}J_{m}(\lambda)&=\left[\begin{array}{cccc}\lambda & 1 & & \\& \ddots & \ddots & \\& & \ddots & 1 \\& & & \lambda\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{llll}\lambda & & & \\& \ddots & & \\& & \ddots & \\& & & \lambda\end{array}\right] +\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & & \\& \ddots & \ddots & \\& & \ddots & 1 \\& & & 0\end{array}\right] \\ &=\lambda I_{m}+J_{m}(0)\end{aligned} Jm(λ)= λ1⋱⋱⋱1λ = λ⋱⋱λ + 01⋱⋱⋱10 =λIm+Jm(0)这是一个单位阵和一个幂零(nilpotent)矩阵
①单位阵的特征值为 λ \lambda λ，特征向量为任意向量（ λ I m x = λ x \lambda\bold I_{m}\bold x=\lambda\bold x λImx=λx）
②幂零矩阵 J m ( 0 ) J_{m}(0) Jm(0)的特征值为0，且相应的特征子空间维数为 m − r a n k = 1 m-rank=1 m−rank=1，唯一的（单位长度）特征向量为 e 1 \bold e_1 e1（ J m ( 0 ) e 1 = 0 J_{m}(0)\bold e_1=\bold 0 Jm(0)e1=0），而对于其他标准单位向量则有 J m ( 0 ) e i = e i − 1 , i > 1 J_{m}(0)\bold e_i=\bold e_{i-1},i>1 Jm(0)ei=ei−1,i>1
由②，Jordan块的特征向量必然是标准单位向量（例如 e i \bold e_i ei代表单位阵 E \bold E E的第 i i i列）

综合①②可知，该Jordan块的特征向量为 J m ( λ ) e 1 = λ e 1 J m ( λ ) e i = λ e i + e i − 1 , i = 2 , … , m J_{m}(\lambda) \mathbf{e}_{1}=\lambda \mathbf{e}_{1} \\ J_{m}(\lambda) \mathbf{e}_{i}=\lambda \mathbf{e}_{i}+\mathbf{e}_{i-1}, \quad i=2, \ldots, m Jm(λ)e1=λe1Jm(λ)ei=λei+ei−1,i=2,…,m

可以看出，每个 m m m阶的Jordan块 J m ( 0 ) J_{m}(0) Jm(0)有且仅有一个特征向量 e 1 \mathbf{e}_{1} e1（因此上面说“一个Jordan块对应一个几何重数”），而其余的 m − 1 m-1 m−1个标准单位向量 e 2 , e 3 , . . . , e m \mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3},...,\mathbf{e}_{m} e2,e3,...,em称为广义特征向量(generalized eigenvector)

（可对角化的矩阵，其无关特征向量可张成整个空间，而Jordan标准型的情况，其所有广义特征向量张成整个空间），详见Jordan 形式大解读（上） | 线代启示录

举例说明：

例如
J A = b l k d i a g ( [ 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 ] , [ 3 1 0 3 ] ) = b l k d i a g ( [ 2 1 0 0 2 1 0 0 2 ] , [ 2 ] , [ 3 1 0 3 ] ) = b l k d i a g ( J 3 ( 2 ) , J 2 ( 2 ) , J 2 ( 3 ) ) 和 J B = b l k d i a g ( [ 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 ] , [ 3 1 0 3 ] ) = b l k d i a g ( [ 2 1 0 2 ] , [ 2 1 0 2 ] , [ 3 1 0 3 ] ) = b l k d i a g ( J 2 ( 2 ) , J 2 ( 2 ) , J 2 ( 3 ) ) \begin{aligned}\mathbf J_{A} &=blkdiag(\left[\begin{array}{lll|l} 2 & 1 & 0 & 0 \\0 & 2 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2 & 0 \\\hline 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\0 & 3\end{array}\right])\\ &=blkdiag(\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2\end{array}\right], [2], \left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\0 & 3\end{array}\right])\\ &=blkdiag(J_3(2),J_2(2),J_2(3))\end{aligned}和\begin{aligned}\mathbf J_{B}&=blkdiag(\left[\begin{array}{ll|ll} 2 & 1 & 0 & 0 \\0 & 2 & 0 & 0 \\\hline 0 & 0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right] ,\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\0 & 3\end{array}\right]) \\ &=blkdiag(\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\0 & 2\end{array}\right], \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\0 & 2\end{array}\right], \left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\0 & 3\end{array}\right])\\ &=blkdiag(J_2(2),J_2(2),J_2(3))\end{aligned} JA=blkdiag( 2000120001200002 ,[3013])=blkdiag( 200120012 ,[2],[3013])=blkdiag(J3(2),J2(2),J2(3))和JB=blkdiag( 2000120000200012 ,[3013])=blkdiag([2012],[2012],[3013])=blkdiag(J2(2),J2(2),J2(3))
其中， J A \mathbf J_{A} JA的特征值为 2 , 3 2,3 2,3：
特征值 2 2 2的代数重数为 4 4 4，几何重数为 2 2 2
特征值 3 3 3的代数重数为 2 2 2，几何重数为 1 1 1
J A \mathbf J_{A} JA的特征值 2 2 2的两个特征向量为 [ 2 1 0 0 2 1 0 0 2 ] → e 1 = ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) T [ 2 ] → e 4 = ( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ) T \begin{aligned}{\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2\end{array}\right]\rightarrow \mathbf{e}_{1}=(1,0,0,0,0,0)^{T}} \\ {[2] \rightarrow \mathbf{e}_{4}=(0,0,0,1,0,0)^{T}}\end{aligned} 200120012 →e1=(1,0,0,0,0,0)T[2]→e4=(0,0,0,1,0,0)T；
J A \mathbf J_{A} JA的特征值 3 3 3的特征向量为 [ 3 1 0 3 ] → e 5 = ( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 ) T {\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\0 & 3\end{array}\right] \rightarrow \mathbf{e}_{5}=(0,0,0,0,1,0)^{T}} [3013]→e5=(0,0,0,0,1,0)T

J B \mathbf J_{B} JB的特征值为 2 , 3 2,3 2,3：
特征值 2 2 2的代数重数为 4 4 4，几何重数为 2 2 2
特征值 3 3 3的代数重数为 2 2 2，几何重数为 1 1 1
J B \mathbf J_{B} JB的特征值 2 2 2的两个特征向量为 [ 2 1 0 2 ] → e 1 = ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) T [ 2 1 0 2 ] → e 3 = ( 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 ) T \begin{aligned}{\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\0 & 2\end{array}\right] \rightarrow \mathbf{e}_{1}=(1,0,0,0,0,0)^{T}} \\ {\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\0 & 2\end{array}\right] \rightarrow \mathbf{e}_{3}=(0,0,1,0,0,0)^{T}}\end{aligned} [2012]→e1=(1,0,0,0,0,0)T[2012]→e3=(0,0,1,0,0,0)T；
J B \mathbf J_{B} JB的特征值 3 3 3的特征向量为 [ 3 1 0 3 ] → e 5 = ( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 ) T {\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\0 & 3\end{array}\right] \rightarrow \mathbf{e}_{5}=(0,0,0,0,1,0)^{T}} [3013]→e5=(0,0,0,0,1,0)T

Jordan标准型的计算方式

见Jordan 形式大解读（下）

Jordan标准型的应用

Jordan标准型在数值计算上的用处不大，但是可用于分析矩阵特征值情况，另外，证明两个矩阵相似的通用方法就是证明它们有相同的Jordan标准型

Reference:
Jordan 典型形式浅说（上）
Jordan 典型形式浅说（下）
Jordan 形式大解读（上）
Jordan 形式大解读（下）