推导前置：两点之间距离公式

图一：

已知AB两点坐标为A（x1,y1），B(x2,y2)。
过A做一直线与X轴平行，过B做一直线与Y轴平行，两直线交点为C。
则AC垂直于BC（因为X轴垂直于Y轴）
则三角形ACB为直角三角形
由勾股定理得
AB2=AC2+BC2AB^2=AC^2+BC^2 AB2=AC2+BC2
即
AB=AC2+BC2AB=\sqrt{AC^2+BC^2} AB=AC2+BC2

已知直线方程：

一般式
Ax+By+C=0Ax+By+C=0 Ax+By+C=0
点斜式
(y1−y2)(x1−x2)=k\frac{(y1-y2)}{(x1-x2)}=k (x1−x2)(y1−y2)=k

过P(x0,y0)作直线L的垂线Li，垂足为D(x,y)，p(x0,y0)到D(x,y)的距离为d

由一般式直线方程可知，直线L的斜率为：-
k=−ABk=-\frac{A}{B} k=−BA

由于两线垂直斜率乘积为-1，所以垂线Li的斜率为：
ki=BAki=\frac{B}{A} ki=AB

代入点斜式直线方程：

y0−yx0−x=BA\frac{y0-y}{x0-x}=\frac{B}{A} x0−xy0−y=AB

即得到直线方程二：
Bx−Ay+Ay0−Bx0=0Bx-Ay+Ay0-Bx0=0 Bx−Ay+Ay0−Bx0=0

通过一般式可知：
x=−(c+By)Ax=\frac{-(c+By)}{A} x=A−(c+By)

y=−(c+Ax)By=\frac{-(c+Ax)}{B} y=B−(c+Ax)

代入直线方程二

Bx+AC+A2∗xB+Ay0−Bx0=0Bx+\frac{AC+A^2*x}{B}+Ay0-Bx0=0 Bx+BAC+A2∗x+Ay0−Bx0=0

计算得到D(x,y)的坐标为：

x=B2∗x0−ABy0−ACB2+A2x=\frac{B^2*x0-ABy0-AC}{B^2+A^2} x=B2+A2B2∗x0−ABy0−AC

y=A2∗y0−ABx0−BCB2+A2y=\frac{A^2*y0-ABx0-BC}{B^2+A^2} y=B2+A2A2∗y0−ABx0−BC

x−x0=−A(Ax0+By0+C)B2+A2x-x0=\frac{-A(Ax0+By0+C)}{B^2+A^2} x−x0=B2+A2−A(Ax0+By0+C)

y−y0=−B(Ax0+By0+C)B2+A2y-y0=\frac{-B(Ax0+By0+C)}{B^2+A^2} y−y0=B2+A2−B(Ax0+By0+C)

根据推导前置图一勾股定理可知：

d2=(x−x0)2+(y−y0)2d^2=(x-x0)^2+(y-y0)^2 d2=(x−x0)2+(y−y0)2

所以代入x-x0，y-y0得到：
d2=(−A(Ax0+By0+C)(B2+A2))2+(−B(Ax0+By0+C)(B2+A2))2d^2=\frac{(-A(Ax0+By0+C)}{(B^2+A^2))^2}+\frac{(-B(Ax0+By0+C)}{(B^2+A^2))^2} d2=(B2+A2))2(−A(Ax0+By0+C)+(B2+A2))2(−B(Ax0+By0+C)

d2=A2(Ax0+By0+C)2(B2+A2)2+B2(Ax0+By0+C)2(B2+A2)2d^2=\frac{A^2(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)^2}+\frac{B^2(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)^2} d2=(B2+A2)2A2(Ax0+By0+C)2+(B2+A2)2B2(Ax0+By0+C)2

d2=(A2++B2)(Ax0+By0+C)2(B2+A2)2d^2=\frac{(A^2++B^2)(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)^2} d2=(B2+A2)2(A2++B2)(Ax0+By0+C)2

d2=(Ax0+By0+C)2(B2+A2)d^2=\frac{(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)} d2=(B2+A2)(Ax0+By0+C)2

得出点到直线距离公式为：

d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d=\frac{|Ax0+By0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} d=A2+B2∣Ax0+By0+C∣

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