matlab入门——矩阵运算

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矩阵运算

matlab入门——矩阵运算
- 1、矩阵加法
- 2、矩阵减法
- 3、矩阵乘法
- - 3.1、数乘运算
  - 3.2、矩阵相乘
  - 3.2、点乘运算
- 4、矩阵除法
- - 4.1、左除法
  - 4.2、右除法
- 5、矩阵其它运算汇总
- 6、矩阵幂函数
- 6、矩阵求逆
- 7、矩阵范数、两个点之间的欧几里德距离
- - 两个点之间的欧几里德距离

矩阵的基本运算包括加、减、乘、数乘、点乘、乘方、左除、右除、求逆等。其中加、减、乘与大家所学的线性代数中的定义是一样的，相应的运算符为“+++”、“−-−”、“∗*∗”。

矩阵的除法运算是MATLAB所特有的，分为左除和右除，相应运算符为“\”和“///”。一般情况下，方程A∗X=BA*X=BA∗X=B的解是X=AX=AX=A\ BBB，而方程X∗A=BX*A=BX∗A=B的解是X=B/AX=B/AX=B/A。

1、矩阵加法

设矩阵A=aijA=a_{ij}A=aij，B=bijB=b_{ij}B=bij都是m×nm\times nm×n的矩阵，则矩阵AAA与BBB的和为
A+B=[a11+b11a12+b12⋯a1n+b1na21+b21a22+b22⋯a2n+b2n⋮⋮⋮⋮am1+bm1am2+bm2⋯amn+bmn]A+B=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}A+B=⎣⎢⎢⎢⎡a11+b11a21+b21⋮am1+bm1a12+b12a22+b22⋮am2+bm2⋯⋯⋮⋯a1n+b1na2n+b2n⋮amn+bmn⎦⎥⎥⎥⎤

1. 矩阵交换律： A+B=B+AA+B=B+AA+B=B+A
2. 矩阵j结合律： (A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)

A=[5,6,9,8;5,3,6,7]
B=[3,6,7,9;5,8,9,6]
C=[9,3,5,6;8,5,2,1]
D=[1,5,6;2,5,6]A+B
B+A
(A+B)+C
A+(B+C)
A+D

2、矩阵减法

计算矩阵A−B=A+(−B)A-B=A+(-B)A−B=A+(−B)

 B=[3,6,7,9;5,8,9,6];A=[5,6,9,8;5,3,6,7];-B
ans =-3    -6    -7    -9-5    -8    -9    -6A-B
ans =2     0     2    -10    -5    -3     1

3、矩阵乘法

3.1、数乘运算

>> A=[5,6,9,8;5,3,6,7];
>> A*10
ans =50    60    90    8050    30    60    70

3.2、矩阵相乘

C=A∗BC=A*BC=A∗B满足下面条件：

矩阵A的行数与矩阵B的列数相同;
矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数;
矩阵C的第m行n列元素值等于矩阵A的m行元素与矩阵B的n行元素对应值积的和。
AB≠BAAB\neq BAAB=BA，矩阵不满足交换律

[a1a2⋮an][a1a2⋯an]=[a1b1a1b2⋯a1bna2b1a2b2⋯a2bn⋮⋮⋮⋮anb1anb2⋯anbn]\begin{bmatrix} a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{1}&a_{2}&\cdots &a_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_1b_1&a_1b_2&\cdots &a_1b_n \\ a_2b_1&a_2b_2&\cdots &a_2b_n\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\ a_nb_1&a_nb_2&\cdots &a_nb_n \end{bmatrix}⎣⎢⎢⎢⎡a1a2⋮an⎦⎥⎥⎥⎤[a1a2⋯an]=⎣⎢⎢⎢⎡a1b1a2b1⋮anb1a1b2a2b2⋮anb2⋯⋯⋮⋯a1bna2bn⋮anbn⎦⎥⎥⎥⎤

[a1a2⋯an]∗[a1a2⋮an]=a1b1+a2b1+⋯+anbn\begin{bmatrix} a_{1}&a_{2}&\cdots &a_n \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_n \end{bmatrix}= a_1b_1+a_2b_1+\cdots+ a_nb_n[a1a2⋯an]∗⎣⎢⎢⎢⎡a1a2⋮an⎦⎥⎥⎥⎤=a1b1+a2b1+⋯+anbn

3.2、点乘运算

点乘运算指将两矩阵中相同位置的元素进行相乘运算，将积保存在原位置组成新矩阵。

B=[3,6,7,9;5,8,9,6];
A=[5,6,9,8;5,3,6,7];A.*B
ans =15    36    63    7225    24    54    42

>> A=[0 0;1 1]
B=[1 0;2 0]
6*A - 5*B
A*B-A
B*A-A
A.*B-A
A*B./A-AA =0     01     1
B =1     02     0
ans =-5     0-4     6
ans =0     02    -1
ans =0     0-1    -1
ans =0     01    -1
ans =NaN   NaN2    -1

4、矩阵除法

计算左除A\B时，A的行数要与B的行数一致，计算右除A/B时，A的列数要与B的列数致。

4.1、左除法

线性方程组D∗X=BD*X=BD∗X=B，如果DDD非奇异，即它的逆矩阵inv(D)\text{inv}(D)inv(D)存在，则其解用MATLAB表示为
X−inv(D)∗B=D右除BX-\text{inv}(D)*B=D右除BX−inv(D)∗B=D右除B
符号“\”称为左除,即分母放在左边。

左除的条件:B的行数等于D的阶数(D的行数和列数相同，简称阶数)。

A=[1 2 3;5 8 6];
B=[8 6 9;4 3 7];
C=A./B
D=B.*CC =0.1250    0.3333    0.33331.2500    2.6667    0.8571
D =1     2     35     8     6

4.2、右除法

线性方程组X∗D=BX*D=BX∗D=B，如果DDD非奇异，即它的逆矩阵inv(D)\text{inv}(D)inv(D)存在，则其解用MATLAB表示为
X=B∗inv(D)=B/DX=B*\text{inv}(D)=B/DX=B∗inv(D)=B/D

符号“/”称为左除,即分母放在右边。

右除的条件:B的列数等于D的阶数(D的行数和列数相同，简称阶数)。

A=[1 2 3;5 8 6];
B=[8 6 9;4 3 7];
A.\B
A./Bans =8.0000    3.0000    3.00000.8000    0.3750    1.1667
ans =0.1250    0.3333    0.33331.2500    2.6667    0.8571

5、矩阵其它运算汇总

6、矩阵幂函数

AAA阶方阵，其kkk次幂为
Ak=AAAAAAAA^k=AAAAAAAAk=AAAAAAA

A=[1,2,3;4,5,6;2,3,4];
A.^2
A^2
ans =15    21    2736    51    6622    31    40

(A∗B)k≠Ak∗Bk(A*B)^k\neq A^k*B^k(A∗B)k=Ak∗Bk

A=[1 2 3;0 3 3;7 9 5];
B=[5,6,8;6,0,5;4,5,6];
(A*B)^5
A^5*B^5ans =1.0e+11 *0.3047    0.1891    0.36490.2785    0.1728    0.33351.0999    0.6825    1.3173
ans =1.0e+10 *2.5561    2.1096    3.36132.5561    2.1095    3.36136.8284    5.6354    8.9793

6、矩阵求逆

对于nnn阶方阵AAA，如果有nnn阶方阵BBB满足AB=BA=IAB=BA=IAB=BA=I，则称矩阵A为可逆的，称方阵BBB为AAA的逆矩阵，记为A−1A^{-1}A−1。

逆矩阵的基本性质：

若AAA可逆，则A−1A^{-1}A−1是唯一的。
若AAA可逆，则A−1A^{-1}A−1也可逆，并且(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A(A−1)−1=A。
若nnn阶方阵AAA与BBB都可逆，则ABABAB也可逆，且(AB)−1(AB)^{-1}(AB)−1=B−1A−1B^{-1}A^{-1}B−1A−1。
若AAA可逆，则∣A−1∣=∣A∣−1|A^{-1}|=|A|^{-1}∣A−1∣=∣A∣−1。
我们把满足A≠0A\neq0A=0的方阵AAA称为非奇异的，否则就称为奇异的。求解矩阵的逆使用函数inv，调用格式如下。
Y=inv(X)Y=\text{inv}(X)Y=inv(X)

A=rand(3)
B = inv(A)A =0.9575    0.9706    0.80030.9649    0.9572    0.14190.1576    0.4854    0.4218
B =1.6626   -0.1039   -3.1198-1.9097    1.3790    3.15971.5764   -1.5481   -0.0994

7、矩阵范数、两个点之间的欧几里德距离

范数是数值分析中的一个概念，它是向量或矩阵大小的一种度量，在工程计算中有着重要的作用。对于向量x∈Rnx\in\mathbb{R}^nx∈Rn，常用的向量范数有以下几种。

语法：
n = norm(v)
n = norm(v,p)
n = norm(X)
n = norm(X,p)
n = norm(X,‘fro’)

n = norm(v) 返回向量 v 的欧几里德范数。此范数也称为 2-范数、向量模或欧几里德长度。

n = norm(v,p) 返回广义向量 p-范数。

n = norm(X) 返回矩阵 X 的 2-范数或最大奇异值，该值近似于 max(svd(X))。

n = norm(X,p) 返回矩阵 X 的 p-范数，其中 p 为 1、2 或 Inf：
如果 p = 1，则 n 是矩阵的最大绝对列之和，即1范数。
如果 p = 2，则 n 近似于 max(svd(X))。这与 norm(X) 等效，即2范数。
如果 p = Inf，则 n 是矩阵的最大绝对行之和。
如果 p = Inf，则 n 是矩阵的最大绝对行之和。

n = norm(X,‘fro’) 返回矩阵 X 的 Frobenius 范数。

v = [1 -2 3];
n = norm(v)
n = 3.7417

X = [-2 3 -1];
n = norm(X,1)
n = 6

两个点之间的欧几里德距离

a = [0 3];
b = [-2 1];

使用 norm 来计算点之间的距离。

d = norm(b-a)
d = 2.8284

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