[蓝桥杯]算法提高金属采集（树形dp）

问题描述
人类在火星上发现了一种新的金属！这些金属分布在一些奇怪的地方，不妨叫它节点好了。一些节点之间有道路相连，所有的节点和道路形成了一棵树。一共有 n 个节点，这些节点被编号为 1~n 。人类将 k 个机器人送上了火星，目的是采集这些金属。这些机器人都被送到了一个指定的着落点， S 号节点。每个机器人在着落之后，必须沿着道路行走。当机器人到达一个节点时，它会采集这个节点蕴藏的所有金属矿。当机器人完成自己的任务之后，可以从任意一个节点返回地球。当然，回到地球的机器人就无法再到火星去了。我们已经提前测量出了每条道路的信息，包括它的两个端点 x 和 y，以及通过这条道路需要花费的能量 w 。我们想花费尽量少的能量采集所有节点的金属，这个任务就交给你了。

输入格式
第一行包含三个整数 n, S 和 k ，分别代表节点个数、着落点编号，和机器人个数。

接下来一共 n-1 行，每行描述一条道路。一行含有三个整数 x, y 和 w ，代表在 x 号节点和 y 号节点之间有一条道路，通过需要花费 w 个单位的能量。所有道路都可以双向通行。

输出格式
输出一个整数，代表采集所有节点的金属所需要的最少能量。
样例输入
6 1 3
1 2 1
2 3 1
2 4 1000
2 5 1000
1 6 1000
样例输出
3004
样例说明
所有机器人在 1 号节点着陆。
第一个机器人的行走路径为 1->6 ，在 6 号节点返回地球，花费能量为1000。
第二个机器人的行走路径为 1->2->3->2->4 ，在 4 号节点返回地球，花费能量为1003。
第一个机器人的行走路径为 1->2->5 ，在 5 号节点返回地球，花费能量为1001。
数据规模与约定
本题有10个测试点。
对于测试点 1~2 ， n <= 10 ， k <= 5 。
对于测试点 3 ， n <= 100000 ， k = 1 。
对于测试点 4 ， n <= 1000 ， k = 2 。
对于测试点 5~6 ， n <= 1000 ， k <= 10 。
对于测试点 7~10 ， n <= 100000 ， k <= 10 。
道路的能量 w 均为不超过 1000 的正整数。

思路：挺经典的一道树形dp的题目。
dp[i][j]代表着以i为根的子树，利用j个机器人去收集这个子树的金属，收集完了就返回地球所需要的最小花费，那么最终输出dp[n][k]。
状态转移方程就是：dp[i][r]=min(dp[i][r],dp[i][r-j]+dp[to][j]+j*w).假设以i为根的子树中分配了r个机器人，那么我们分配了j个到以to为根的子树中，那么i-to的这一条边就需要有j个机器人走，因为不需要返回，所以只需要乘一次。
但是有一种情况例外，就是分配给以to为根的子树的机器人中，没有一个返回了地球，这种情况我们可以考虑一下，以to为根的子树节点中的金属都被收集了，但是所以的机器人又返回了，我们贪心的去想，收集的金属数目是不会随着机器人的数目变的，如果机器人数目多的话，代价反而大，因为i-to这一条边走的机器人多了，这种情况下，最优的就是派一个机器人下去收集，然后再返回，这样是最优的。
代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;const int maxx=1e5+100;
struct edge{int to,next,w;
}e[maxx<<1];
int dp[maxx][15],head[maxx<<1];
int n,s,k,tot;inline void init()
{memset(head,-1,sizeof(head));memset(dp,0,sizeof(dp));tot=0;
}
inline void add(int u,int v,int w)
{e[tot].next=head[u],e[tot].to=v,e[tot].w=w,head[u]=tot++;
}
inline void dfs(int u,int f)
{for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){int to=e[i].to;if(to==f) continue;dfs(to,u);for(int r=k;r>=0;r--){//如果顺序的话，前面结果改变会影响后面的情况。dp[u][r]+=dp[to][0]+2*e[i].w;//特殊情况for(int j=1;j<=r;j++) dp[u][r]=min(dp[u][r],dp[u][r-j]+dp[to][j]+j*e[i].w);}}
}
int main()
{scanf("%d%d%d",&n,&s,&k);init();int x,y,z;for(int i=1;i<n;i++){scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);add(x,y,z);add(y,x,z);}dfs(s,0);printf("%d\n",dp[s][k]);return 0;
}

努力加油a啊，(^o)/~

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