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往期文章
5.4 方阵函数
- 5.4.1 方阵函数f(A)f(A)f(A)定义
- 5.4.2 用方阵AAA的若当形计算方阵函数f(A)f(A)f(A)
- - 定理5.4.1
  - 定理5.4.2
  - 利用AAA的标准形状计算方阵函数f(A)f(A)f(A)
- 5.4.3 用f(z)f(z)f(z)在AAA上的谱值方法计算方阵函数f(A)f(A)f(A)
- - 定义5.9
  - 定理5.4.3
结语

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5.4 方阵函数

5.4.1 方阵函数f(A)f(A)f(A)定义

最简单的方阵函数是矩阵多项式

B=f(A)=a0E+a1A+...+anAnB=f(A)=a_0E+a_1A+...+a_nA^nB=f(A)=a0E+a1A+...+anAn

其中A∈Cn×n,ai∈CA\in C^{n×n},a_i\in CA∈Cn×n,ai∈C

简单理解：以前知识中函数形式为:f(x)=a0+a1x+...+anxnf(x) = a_0 + a_1x + ... + a_n x^nf(x)=a0+a1x+...+anxn
在这里，变量xxx变为了矩阵AAA
得到：f(A)=a0E+a1A+...+anAnf(A)=a_0E+a_1A+...+a_nA^nf(A)=a0E+a1A+...+anAn

5.4.2 用方阵AAA的若当形计算方阵函数f(A)f(A)f(A)

定理5.4.1

若方阵X∈Cn×nX\in C^{n×n}X∈Cn×n的幂级数∑k=0∞akXk\sum_{k=0}^{\infty}a_kX^{k}∑k=0∞akXk收敛，并记

f(X)=∑k=0∞akXkf(X)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kX^{k}f(X)=k=0∑∞akXk

则当

X=diag(X1,X2,...,Xt)X = diag(X_1,X_2,...,X_t)X=diag(X1,X2,...,Xt)

有

f(X)=f(diag(X1,X2,...,Xt))=diag(f(X1),f(X2),...,f(Xt))f(X)=f(diag(X_1,X_2,...,X_t))=diag(f(X_1),f(X_2),...,f(X_t))f(X)=f(diag(X1,X2,...,Xt))=diag(f(X1),f(X2),...,f(Xt))

diagdiagdiag：对角矩阵

这个定理的大概意思是说：若XXX可以变换为对角阵时，f(X)f(X)f(X)可以等效为diag(f(X1),f(X2),...,f(Xt))diag(f(X_1),f(X_2),...,f(X_t))diag(f(X1),f(X2),...,f(Xt))

定理5.4.2

任给收敛半径为RRR的复变幂级数

f(z)=∑k=0∞akzkf(z)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kz^{k}f(z)=k=0∑∞akzk

及一个nnn阶JordanJordanJordan块

则当∣λ0∣<R|\lambda_0| < R∣λ0∣<R时，级数

∑k=0∞akJ0k\sum_{k=0}^{\infty}a_kJ_{0}^{k}k=0∑∞akJ0k

绝对收敛，且

这个定理的大概意思是说：
若XXX不可以变换为对角阵，但可以变换为若当矩阵时
f(X)f(X)f(X)可以等效为上图矩阵

利用AAA的标准形状计算方阵函数f(A)f(A)f(A)

当AAA与对角形相似时，即存在可逆矩阵PPP，使

A=P[diag(λ1,λ2,...,λn)]P−1A=P[diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)]P^{-1}A=P[diag(λ1,λ2,...,λn)]P−1

则对于复变幂级数

f(z)=∑k=0∞akzk∣z∣<Rf(z)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}\quad |z|<Rf(z)=k=0∑∞akzk∣z∣<R

当ρ(A)<R\rho(A) < Rρ(A)<R时，矩阵幂级数

f(A)=∑k=0∞akAkf(A)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kA^{k}f(A)=k=0∑∞akAk

收敛，且

f(A)=f(P[diag(λ1,λ2,...,λn)]P−1)=P[diag(f(λ1),f(λ2),...,f(λn))]P−1f(A)=f(P[diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)]P^{-1})=P[diag(f(\lambda_1),f(\lambda_2),...,f(\lambda_n))]P^{-1}f(A)=f(P[diag(λ1,λ2,...,λn)]P−1)=P[diag(f(λ1),f(λ2),...,f(λn))]P−1

例：设A=[010−2]A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}A=[001−2]，求eA,sin(A),cos(A)e^{A},sin(A),cos(A)eA,sin(A),cos(A)

一般遇到的方阵函数往往不是常数矩阵AAA的函数

而是变量ttt的函数矩阵AtAtAt的函数

即尚须计算方阵函数eAt,sin(At),cos(At)e^{At},sin(At),cos(At)eAt,sin(At),cos(At)，计算方法同上面一样，即

当AAA不与对角形矩阵相似时，即存在可逆矩阵PPP，使得

例：设A=[010001230]A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix}A=⎣⎡002103010⎦⎤，求eAe^{A}eA

若是求eAte^{At}eAt，则为

5.4.3 用f(z)f(z)f(z)在AAA上的谱值方法计算方阵函数f(A)f(A)f(A)

设h(λ)h(\lambda)h(λ)是有限次多项式，m(λ)m(\lambda)m(λ)是方阵AAA的最小多项式（令deg[m(λ)]=tdeg[m(\lambda)]=tdeg[m(λ)]=t），用m(λ)m(\lambda)m(λ)去除h(λ)h(\lambda)h(λ)，其商为g(λ)g(\lambda)g(λ)，余式为r(λ)r(\lambda)r(λ)，便有

h(λ)=m(λ)g(λ)+r(λ)h(\lambda)=m(\lambda)g(\lambda)+r(\lambda)h(λ)=m(λ)g(λ)+r(λ)

有deg[r(λ)]≤t−1deg[r(\lambda)] \leq t-1deg[r(λ)]≤t−1，或r(λ)=0r(\lambda)=0r(λ)=0

deg[m(λ)]deg[m(\lambda)]deg[m(λ)]：多项式m(λ)m(\lambda)m(λ)的最高次数
比如m(λ)=4λ2+λ+3m(\lambda)=4\lambda^2+\lambda+3m(λ)=4λ2+λ+3
则deg[m(λ)]=2deg[m(\lambda)]=2deg[m(λ)]=2

由m(A)=0m(A)=0m(A)=0，有

h(A)=m(A)g(A)+r(A)h(A)=m(A)g(A)+r(A)h(A)=m(A)g(A)+r(A)

说明方阵AAA的一个任意多项式h(A)h(A)h(A)总可以表示为AAA的次数不超过t−1t-1t−1的多项式r(A)r(A)r(A)

ttt是AAA的最小多项式m(λ)m(\lambda)m(λ)的次数

也就是说，方阵AAA的任何有限次多项式h(A)h(A)h(A)都可以被E,A,...,At−1E,A,...,A^{t-1}E,A,...,At−1线性表示，且E,A,...,At−1E,A,...,A^{t-1}E,A,...,At−1是线性无关的

r(A)r(A)r(A)是唯一的

因为方阵函数f(A)=∑k=0∞akAkf(A)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kA^{k}f(A)=∑k=0∞akAk的幂级数表达式收敛，而Ak(k≥t)A^{k}(k\geq t)Ak(k≥t)又可以表示为AAA的次数不超过t−1t-1t−1的多项式

则可以把f(A)f(A)f(A)表示为次数不超过t−1t-1t−1的方阵多项式T(A)T(A)T(A)

因为任意一个AkA^kAk都可以表示为一个次数不超过t−1t-1t−1的多项式
所以A1+A2+...+AkA^1+A^{2}+...+A^{k}A1+A2+...+Ak结果一定也是次数不超过t−1t-1t−1的多项式

定义5.9

设nnn阶方阵AAA的最小多项式为

m(λ)=(λ−λ1)t1(λ−λ2)t2....(λ−λs)tsm(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{t1}(\lambda-\lambda_2)^{t2}....(\lambda-\lambda_s)^{ts}m(λ)=(λ−λ1)t1(λ−λ2)t2....(λ−λs)ts

其中λ1,λ2,...,λs\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_sλ1,λ2,...,λs是AAA的互不相同的特征根

如果复函数f(z)f(z)f(z)及其各阶导数f(l)(z)f^{(l)}(z)f(l)(z)在z=λi(i=1,2,...,s)z=\lambda_i(i=1,2,...,s)z=λi(i=1,2,...,s)处的导数值，即

均为有限值，便称函数f(z)f(z)f(z)在方阵AAA的谱上给定，并称这些值为f(z)f(z)f(z)在AAA上的谱值

定理5.4.3

设A∈Cn×nA\in C^{n×n}A∈Cn×n的最小多项式为

m(λ)=(λ−λ1)t1(λ−λ2)t2....(λ−λs)tsm(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{t1}(\lambda-\lambda_2)^{t2}....(\lambda-\lambda_s)^{ts}m(λ)=(λ−λ1)t1(λ−λ2)t2....(λ−λs)ts

其中t1+t2+...+ts=tt_1+t_2+...+t_s=tt1+t2+...+ts=t，λi≠λj(i≠j,i,j=1,2,...,s)\lambda_i\neq\lambda_j(i\neq j, i,j = 1,2,...,s)λi=λj(i=j,i,j=1,2,...,s)

其实这里的ttt就是deg[m(λ)]deg[m(\lambda)]deg[m(λ)]

而方阵函数f(A)f(A)f(A)是收敛的方阵幂级数∑k=0∞akAk\sum_{k=0}^{\infty}a_kA^{k}∑k=0∞akAk的和函数，级

f(A)=∑k=0∞akAkf(A)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kA^{k}f(A)=k=0∑∞akAk

设

T(λ)=b0+b1λ+...+bt−1λt−1T(\lambda)=b_0+b_1\lambda+...+b_{t-1}\lambda^{t-1}T(λ)=b0+b1λ+...+bt−1λt−1

使得

则有

T(A)=f(A)=∑k=0∞akAkT(A)=f(A)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kA^kT(A)=f(A)=k=0∑∞akAk

例：设A=[010−2]A=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & -2 \end{bmatrix}A=[001−2]，计算eAze^{Az}eAz

例：设A=[5−44−3]A=\begin{bmatrix} 5 & -4 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}A=[54−4−3]，计算A100A^{100}A100

结语

说明：

参考于课本《矩阵理论》
配合书中概念讲解结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正

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