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机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记用于知识体系建立以及复习
知其然知其所以然！

1.1 集合与映射

平凡子集合

一个集合的空集(ϕ\phiϕ)和它自身称为这个集合的平凡子集合

除了平凡子集合外，其他子集称为真子集

和集

集合 AAA 和集合 BBB，A+BA+BA+B 即为集合AAA和BBB的和集，有

A+B={a+b｜a∈A,b∈B}A+B=\{ a + b ｜a \in A, b \in B \}A+B={a+b｜a∈A,b∈B}

例如: A={1,2,3}B={2,3,4}A = \{ 1, 2, 3 \} \quad B = \{ 2, 3, 4 \}A={1,2,3}B={2,3,4}
则：A+B={1,2,3}+{2,3,4}={3,4,5,6,7}A + B = \{ 1, 2, 3 \} + \{ 2, 3, 4 \} = \{ 3, 4, 5, 6, 7 \}A+B={1,2,3}+{2,3,4}={3,4,5,6,7}

映射

设XXX与YYY是两个集合，XXX到YYY的映射（或映照）是指一个法则（规则）σ\sigmaσ

σ\sigmaσ使得XXX中的每一个元素xxx都有YYY中惟一确定的元素yyy与之对应，记为

σ:X→Yσ(x)=y或x→y(=σ(x))\sigma:X \rightarrow Y \quad \sigma(x) = y \quad或 \quad x \rightarrow y(=\sigma(x))σ:X→Yσ(x)=y或x→y(=σ(x))

yyy称为xxx在映射σ\sigmaσ下的像，xxx称为yyy在映射σ\sigmaσ下的源像（像源）

映射可以分为：

满射
单射
一一映射

满射

设σ\sigmaσ是XXX到YYY的一个映射，若对YYY中每一个元yyy，都有XXX中对元xxx与之对应，即σ(x)=y\sigma(x) = yσ(x)=y，称为σ\sigmaσ是满映射（满射）

每一个yyy必定有一个xxx与之对应

单射

设σ\sigmaσ是XXX到YYY的一个映射，若对任意的x1,x2∈Xx_1,x_2 \in Xx1,x2∈X，当x1≠x2x_1 \neq x_2x1=x2时，有σ(x1)≠σ(x2)\sigma(x_1) \neq \sigma(x_2)σ(x1)=σ(x2)，称σ\sigmaσ是单映射（单射）

一个xxx只与一个yyy对应

一一映射

若σ\sigmaσ既是单射又是满射，则称σ\sigmaσ是一一映射

举例

例 - 1

AAA是数域KKK上全体 nnn阶方阵的集合，定义

σ1(X)=detX,X∈A\sigma_1(X) = det X, X \in Aσ1(X)=detX,X∈A

则有

σ1:A→K\sigma_1: A \rightarrow Kσ1:A→K

即σ1\sigma_1σ1是AAA到KKK的一个映射

det 用于求一个方阵的行列式
比如
A=∣1234∣A = \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ \end{vmatrix}A=∣∣∣∣1324∣∣∣∣
det A = 1*4 - 2 * 3 = 4 - 6 = -2

这道题可以理解为
输入一个X 其中X∈AX \in AX∈A
经过det运算(σ(X)\sigma_(X)σ(X))
得到一个数值该数值属于数域K
所以映射关系为
σ1:A→K\sigma_1: A \rightarrow Kσ1:A→K

箭头左边可以理解为输入一个值所属于的一个集合（或数域）
箭头右边可以理解为输出结果所属的一个集合或数域

例 - 2

如果定义

σ2=kE,k∈K\sigma_2 = k E, k \in Kσ2=kE,k∈K

EEE是nnn阶单位矩阵，则映射关系为

σ2:K→A\sigma_2:K \rightarrow Aσ2:K→A

EEE是恒定不变的每次输入/改变的其实是kkk值
因为k∈Kk \in Kk∈K 所以箭头左边为KKK
通过运算kEkEkE后，得到一个nnn阶矩阵，对角线为kkk，也还是属于AAA
所以箭头右边为A

例 - 3

令PnP_nPn表示所有次数不超过nnn的实系数多项式集合，定义
σ(f(t))=f′(t)f(t)∈Pn\sigma(f(t)) = f^{'}(t) \quad f(t) \in P_nσ(f(t))=f′(t)f(t)∈Pn

其中，σ\sigmaσ是PnP_nPn到Pn−1P_{n-1}Pn−1的一个映射

PnP_nPn的意思其实就是一个多项式中，最高次不超过nnn
σ\sigmaσ运算本质就是对其进行求一次导
那么最高次不超过nnn次的多项式求导后最高次一定不超过n−1n-1n−1次
所以 σ(f(t))=f′(t)f(t)∈Pn\sigma(f(t)) = f^{'}(t) \quad f(t) \in P_nσ(f(t))=f′(t)f(t)∈Pn 最后的结果就是 Pn−1P_{n-1}Pn−1
故映射关系就是 Pn→Pn−1P_n \rightarrow P_{n-1}Pn→Pn−1

结语

说明：

参考于课本《矩阵理论及其应用》
配合书中概念讲解结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正

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