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3.2 线性变换的矩阵表示

定义3.7

设ε1,...,εn\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n}ε1,...,εn是线性空间VVV的一个基，VVV上的线性变换A\mathscr{A}A在这个基下的像Aε1,...,Aεn\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_n}Aε1,...,Aεn,有

Aε1=a11ε1+a21ε2+...+an1εnAε2=a12ε1+a22ε2+...+an2εn...................................................Aεn=a1nε1+a2nε2+...+annεn\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_1}=a_{11}\boldsymbol\varepsilon_1+a_{21}\boldsymbol\varepsilon_2+...+a_{n1}\boldsymbol\varepsilon_n\\ \quad\\ \mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_2}=a_{12}\boldsymbol\varepsilon_1+a_{22}\boldsymbol\varepsilon_2+...+a_{n2}\boldsymbol\varepsilon_n\\ \quad\\ ...................................................\\ \quad \\ \mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_n}=a_{1n}\boldsymbol\varepsilon_1+a_{2n}\boldsymbol\varepsilon_2+...+a_{nn}\boldsymbol\varepsilon_nAε1=a11ε1+a21ε2+...+an1εnAε2=a12ε1+a22ε2+...+an2εn...................................................Aεn=a1nε1+a2nε2+...+annεn

利用矩阵形式表示

(Aε1,...,Aεn)=(ε1,ε2,...,εn)[a11a12...a1na21a22...a2n......an1an2...ann](\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_n})=(\boldsymbol\varepsilon_1,\boldsymbol\varepsilon_2,...,\boldsymbol\varepsilon_n)\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{bmatrix} (Aε1,...,Aεn)=(ε1,ε2,...,εn)⎣⎢⎢⎢⎢⎡a11a21..an1a12a22..an2.........a1na2n..ann⎦⎥⎥⎥⎥⎤

令

A=[a11a12...a1na21a22...a2n......an1an2...ann]A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡a11a21..an1a12a22..an2.........a1na2n..ann⎦⎥⎥⎥⎥⎤

其中矩阵AAA的第iii列是Aεi\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_i}Aεi在基ε1,...,εn\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n}ε1,...,εn之下的坐标

称矩阵AAA为线性变换A\mathscr{A}A在基ε1,...,εn\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n}ε1,...,εn之下的矩阵表示

Notes

线性空间VVV上的一个线性变换A\mathscr{A}A在给定的基下可以惟一确定一个矩阵AAA
任意给定一个矩阵AAA，可以惟一确定一个线性变换A\mathscr{A}A
给定一个线性变换A\mathscr{A}A，在不同的基下矩阵的表示一般是不相同的

命题

设A\mathscr{A}A是数域KKK上nnn维线性空间VVV上的一个线性变换，ε1,...,εn\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n}ε1,...,εn是VVV的一个基底，且

(Aε1,...,Aεn)=(ε1,ε2,...,εn)A(\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_n})=(\boldsymbol\varepsilon_1,\boldsymbol\varepsilon_2,...,\boldsymbol\varepsilon_n)A(Aε1,...,Aεn)=(ε1,ε2,...,εn)A

则

R(A)=L(Aε1,...,Aεn)R(\mathscr{A})=L(\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_n})R(A)=L(Aε1,...,Aεn)
A的秩=A的秩\mathscr{A}的秩=A的秩A的秩=A的秩
N(A)={α=k1ε1+...+knεn｜A[k1...kn]=0}N(\mathscr{A})=\{\alpha=k_1\boldsymbol{\varepsilon_1}+...+k_n\boldsymbol{\varepsilon_n} ｜A\begin{bmatrix} k_1\\ .\\ . \\ .\\ k_n\\ \end{bmatrix}=0\}N(A)={α=k1ε1+...+knεn｜A⎣⎢⎢⎢⎢⎡k1...kn⎦⎥⎥⎥⎥⎤=0}

定理3.2.1

设ε1,...,εn\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n}ε1,...,εn是数域KKK上nnn维线性空间VVV的一个基

线性变换A、B\mathscr{A}、\mathscr{B}A、B在该基下依次用矩阵表示A、BA、BA、B，则有

（1）(A+B)(ε1,...,εn)=(ε1,...,εn)(A+B)(\mathscr{A}+\mathscr{B})(\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n})=(\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n})(A+B)(A+B)(ε1,...,εn)=(ε1,...,εn)(A+B)

（2）(kA)(ε1,...,εn)=(ε1,...,εn)(kA)(k\mathscr{A})(\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n})=(\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n})(kA)(kA)(ε1,...,εn)=(ε1,...,εn)(kA)

（3）(AB)(ε1,...,εn)=(ε1,...,εn)(AB)(\mathscr{A}\mathscr{B})(\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n})=(\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n})(AB)(AB)(ε1,...,εn)=(ε1,...,εn)(AB)

（4）若A\mathscr{A}A可逆，则A−1(ε1,...,εn)=(ε1,...,εn)A−1\mathscr{A}^{-1}(\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n})=(\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n}){A^{-1}}A−1(ε1,...,εn)=(ε1,...,εn)A−1

结语

说明：

参考于课本《矩阵理论》
配合书中概念讲解结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正

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