3D数学基础 简要归纳
OpenGL + OpenGL ES +Metal 系列文章汇总
- 计算机图形学第一准则：看上去是对的就是对的，简单记为
近似原则 - OpenGL是基于3D的，屏幕是2D的
- OpenGL中使用的是列向量
左手系&右手系
- OpenGL更多的是基于左手系
- 线性代数更多是基于右手系
- 3D图形学中常用坐标系
- 世界坐标系：系统的绝对坐标系
- 物体坐标系：物体产生关联
- 摄像机坐标系/照相机坐标系
- 惯性坐标系：物体坐标系转换为世界坐标系的 “半途”，目的是为了减少复杂度，是一个过渡
- eg：以下情景基于什么坐标系？
- 书在我的
西边还是北边？==> 东南西北 – 世界坐标系 - 计算机在我的
前面还是后面？==> 上下左右 – 物体坐标系 - 从一个房间移动到另一个房间 ==> 寻路型 – 世界坐标系
- 你能
看见我的计算机吗？ ==> 摄像机坐标系
- 书在我的
向量
存储 – 数组
图形学中：最多到4维
- 2D：x、y
- 3D：x、y、z
- 4D：x、y、z、w
零向量：没有方向，没有长度 即 模 = 0
负向量 = (-1).向量, 将向量中的每个数都乘以 -1
- 几何意义：得到一个与原向量
大小相等，方向相反的向量
- 几何意义：得到一个与原向量
向量大小计算 即 模的计算 = 向量中所有数的平方和，再求根号
- 2D向量几何意义：直角三角形最长边的边长
- 2D向量几何意义：直角三角形最长边的边长
标量与向量的运算总结- 标量不能与向量进行加减运算
- 标量与向量可以相乘，且满足交换律，不需要写乘号
- 向量可以除以标量，即相当于向量乘以一个标量的倒数 即
v(向量)/k = v 乘以 1/k - 标量与向量的乘除 优先级高于 加减
- 标量不能除以向量，且向量不能除以另一个向量
- 乘法的特殊情况：负向量，即
向量 乘以 标量-1 - 几何意义：
以因子（k 即 标量）缩放向量的长度，如果k<0, 向量的方向就会相反- 当k = -1时，向量仅翻转，得到
大小相等，方向相反的向量 - 当k = -2时，向量是先翻转，再放大，即-2可以看成（-1）乘以2
- 当k = -1时，向量仅翻转，得到
向量标准化
向量标准化 = 向量 / 向量的模，且向量 != 0- 标准化向量 ：是
向量长度 = 1，不等于单位向量，单位向量是主对角线数为1，其他全为0，单位向量是标准化向量
向量的加减总结- 向量不能与标量或者维度不同的向量相加减
- 向量加法满足交换律
- 向量减法不满足交换律，只有当 a=b 时， a-b = b-a
- 向量加法几何意义：平移向量
向量的
距离公式- 向量a与向量b的距离公式 =
||b-a|| = b与a对应位置数差的平方和，再求根号
- 几何意义：两点间的距离
- 向量a与向量b的距离公式 =
向量的
点乘总结
- 满足交换律，因为点乘结果是一个标量
- 几何意义：两向量的夹角，即
a · b = |a||b|cosα==> α = arccos(a·b / |a||b|)，当a、b是单位向量时，α = arccos(a·b）
| a·b | 夹角α | a和b |
|---|---|---|
| > 0 | （0°，90°） | 方向基本相同 |
| = 0 | 90° | 正交 |
| <0 | （90°，108°） | 方向基本相反 |
根据已知的向量v和向量n，且v2平行于n，v1垂直于n，求向量v2和向量v1
- v2平行于n:
v2 = n(|v2| / |n|) cosα = |v2| / |v|==>|v2| = cosα·|v|- 将|v2|代入v2 ==>
v2 = n(cosα·|v| / |n|) - 分子分母同时乘以
|n|==>v2 = n(cosα·|v|·|n| / |n|²) - 根据
a · b = |a||b|cosα==>v2 = n(v·n / |n|²)，此时求得v2 - 根据v2求v1，因为
v1 + v2 = |v|==>v1 = |v| - v2 - 将v2公式代入v1 ==>
v1 = |v| - n(v·n / |n|²)
- v2平行于n:
向量
叉乘总结【常用】- 向量叉乘运算规则如下
- 向量的叉乘优先级高于点乘
- 几何意义
- a × b = c，c垂直于a和b构成的平面，即c是该平面的法线，分别与a，b都垂直
- a × b = c，即
|c| = |a||b|cosα
- 叉乘既
不满足交换律，也不满足结合律 - 任何向量与自己叉乘等于零向量，即 向量a × 向量a = 0
- 向量叉乘运算规则如下
矩阵
矩阵在OpenGL中推荐使用一维数组存储
方阵：
行=列的矩阵向量可以当做
1*n（行向量） / n*1（列向量）的矩阵使用标量和矩阵的乘法：将矩阵中的每个数都乘以标量
矩阵与矩阵相乘，即
A₃*₂ * B₂*₄ = C₃*₄，A的列数必须匹配B的行数（记法图示如下）
矩阵乘法总结
- 当S是单位矩阵且乘法有意义，任意矩阵M乘以方阵S，，那么得到的结果就是原矩阵，即
MI = IM = M - 矩阵乘法不满足交换律，即
AB != BA - 矩阵乘法满足结合律，前提是ABC的维数使其乘法有意义，即
(AB)C = A(BC) - 矩阵乘法也满足与标量/向量的结合律，即
(kA)B = k(AB) = A(kB); (vA)B = v(AB) - 矩阵乘积的转置 相当于 先转置矩阵，然后以相反顺序相乘，即
(AB)ᵀ = BᵀAᵀ
- 当S是单位矩阵且乘法有意义，任意矩阵M乘以方阵S，，那么得到的结果就是原矩阵，即
向量与矩阵乘法总结
- 行向量左乘矩阵，结果是行向量
- 列向量右乘矩阵，结果实列向量
- 结果向量中每个元素都是原向量与矩阵中单独行/列的点积
- 矩阵-向量成法满足对向量加法的分配律，即
(v+w)M = vM + wM，其中v，w是向量，M是矩阵
基向量：单位向量
p、q、r 定义分别指向+x,+y,+z⽅方向的单位向量量，v = xp+yq+zr
矩阵M对应到坐标轴的单位向量如图所示
矩阵的每一行都能解释为转换后的基向量
矩阵的几何意义
- 方阵的行能被解释为坐标的基向量
- 为了将向量从原坐标变换到新坐标，需要用向量乘以一个矩阵
- 线性变换：从原坐标系到基向量定义的新坐标系的变化
- 零向量乘以任何矩阵仍是零向量
2D下的旋转矩阵公式推演
核心动画CoreAnimation中苹果官方文档有提到
2D下的旋转时围绕原心旋转的
三角函数表
| 三角函数/角度 | 0（0°） | π/2（90°） | π（180°） | 3π/2(270°) | 2π（360°） |
|---|---|---|---|---|---|
| sinα | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| cosα | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 |
| tanα | 0 | 不存在 | 0 | 不存在 | 0 |
| cotα | 不存在 | 0 | 不存在 | 0 | 不存在 |
旋转时向量的变化与三角函数值的关系
旋转变化如图所示
向量与三角函数值的关系
3D下的旋转矩阵公式推演
3D下的旋转时围绕某个轴旋转的，当围绕哪个轴，哪个轴的矩阵中所对应的行和列就用基向量表示
围绕x轴旋转，x轴不会发生变化，所以x对应的矩阵行用基向量表示,图示如下
q向量的值变化过程为: +y（起始） ==> +z ==> -y ==> -z
1 0 0
0 0 1
0 1 0
0 0 -1
0 -1 0r向量的值变化过程：+z（起始） ==> -y ==> -z ==> +y
0 0 1
0 -1 0
0 0 -1
0 1 0
p、r变化过程图示为
与三角函数的关系如图所示
围绕Y、围绕Z与围绕x类似
- 围绕Y轴时R的矩阵：010表示的是基向量，围绕谁懂，谁就必须由基向量表示
- 围绕Y轴时R的矩阵：001表示的是基向量
- 围绕Y轴时R的矩阵：010表示的是基向量，围绕谁懂，谁就必须由基向量表示
缩放与平移矩阵公式推演
- 2D缩放：基向量p和q分别乘以标量k
- 平移：在哪个轴平移，将这个轴的对应的值与平移距离相加
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