月之数

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Problem Description

当寒月还在读大一的时候，他在一本武林秘籍中（据后来考证，估计是计算机基础，狂汗-ing），发现了神奇的二进制数。
如果一个正整数m表示成二进制，它的位数为n（不包含前导0），寒月称它为一个n二进制数。所有的n二进制数中，1的总个数被称为n对应的月之数。
例如，3二进制数总共有4个，分别是4（100）、5（101）、6（110）、7（111），他们中1的个数一共是1＋2＋2＋3=8，所以3对应的月之数就是8。

Input

给你一个整数T，表示输入数据的组数，接下来有T行，每行包含一个正整数 n（1<=n<=20）。

Output

对于每个n ，在一行内输出n对应的月之数。

Sample Input

3 1 2 3

Sample Output

1 3 8

Source

《ACM程序设计》短学期考试_软件工程及其他专业

问题链接：HDU2502 月之数。

问题简述：参见上述链接。

问题分析：这个问题看似简单，让程序简单易懂并且计算速度快是关键。

　　解法一：

　　对于输入的n，n二进制数即n位并且首位为1的二进制数，满足：

　　　　2的n-1次方 ≤ n二进制数 < 2的n次方

　　另外一个问题是如何统计1的个数。1位1位统计是没有问题的，但是效率比较低。程序中是4位4位进行统计的，效率会高很多。这种做法需要事先知道各种4位二进制数中1的个数，值放在数组中备查。

　　以4位为单位统计1的个数并不是最高效率的做法，但是相对比较简单，数组有16个元素就够了，其值也容易算出来。以8位单位统计1的个数，速度上应该是最佳方案，但是数组需要256个元素，给出其值稍微难一点点。

　　网上一些程序使用数学函数计算2的n次方，速度上是比较慢的。这种计算，二进制移位是首选。

　　还有一种方法是直接计算1的位数，公式是pow(2,n-1)+(n-1)*pow(2,n-1)/2。这个方法纯粹是用数学来解，值得推荐。

　　解法二：该问题的另外一种解法是用组合数学的知识直接计算n二进制数中的1的个数。

　　对于输入的n，n二进制数即n位并且首位为1的二进制数，满足：

　　　　pow(2,n-1) ≤ n二进制数 < pow(2,n)

　　因为首位为1，n二进制数的个数就是n-1位的0和1的组合数，即pow(2,n-1)个。

　　第1位必须为1，所以第1位的1的个数为pow(2,n-1)个。

　　其他n-1位，总位数为(n-1)*pow(2,n-1)。其中0和1的个数是一半对一半，所以1的位数为(n-1)*pow(2,n-1)/2。

　　合计1的位数为：pow(2,n-1) +(n-1)*pow(2,n-1)/2。

　　实际计算时，没有必要用数学函数pow来计算。用移位运算来计算2的n次方是一种快速的计算方法。

　　解决问题的第一步用数学方法是十分有效的；第二步则需要用一些程序技巧来简化计算。

　　解法三：这次用递推函数来解该问题。

　　首位为1，n二进制数的个数就是n-1位的0和1的组合数，即pow(2,n-1)个。

　　定义p函数如下：

　　　　p(1) = 1

　　　　p(i) = p(i-1) * 2，i>1

　　递推函数如下：

　　　　f(1) = 1，1二进制数，只有1个，即"1"

　　　　f(2) = 2，2二进制数，只有2个，即"10"和"11"；f(2) = f(1)+p(2)；因为，2二进制数是在1二进制数基础上，左边补"0"，补到1位（即"0"），最左边再加上"1"，就是2二进制数。

　　　　f(i) = f(1)+f(2)+...+f(i-1)+p(i)；因为，i二进制数是在1二进制数到i-1二进制数基础上左边补"0"（补"1"就会导致重复），补到i-1位后，最左边再加上"1"，就是i二进制数。

　　有了上述的递推关系，编写程序就变得简单了。

程序说明：（略）

AC的C语言程序如下（解法三）：

/* HDU2502 月之数 */#include <stdio.h>#define MAXN 25typedef unsigned long long ULL;ULL fn[MAXN+1];void setfn()
{int i;ULL sum, pi;fn[0] = 0;sum = 0;pi = 1;for(i=1; i<=MAXN; i++) {fn[i] = sum + pi;sum += fn[i];pi <<= 1;           // pi = pi * 2;}}int main(void)
{int t, n;// 打表setfn();scanf("%d", &t);while(t--) {// 读入nscanf("%d", &n);// 输出结果printf("%lld\n", fn[n]);}return 0;
}

AC的C语言程序如下（解法二）：

/* HDU2502 月之数 */#include <stdio.h>int main(void)
{int t;scanf("%d", &t);while(t--) {int n, count=0, temp;scanf("%d", &n);// 计算1的个数 count = pow(2,n-1)+(n-1)*pow(2,n-1) / 2temp = 1;temp <<= n-1;count += temp;temp = 1;count += (n - 1) * (temp << (n - 2));// 输出结果printf("%d\n", count);}return 0;
}

AC的C语言程序如下（解法一）：

/* HDU2502 月之数 */#include <stdio.h>int main(void)
{// 每4位一次性统计1的个数// 0000:0个1, 0001:1个1, 0010:1个1, 0011:2个1, 0100:1个1int bit1s[] = {0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4};int t;scanf("%d", &t);while(t--) {int n, count=0, from=1, to=1, x;scanf("%d", &n);from <<= n - 1; // 初值为1,2的n-1次方to <<= n;       // 初值为1,2的n次方// 对于给定的n，在from到to-1中统计二进制位1的个数while(from < to) {x = from;// 统计x(from)中1的个数while(x) {count += bit1s[x % 16]; // 最低4位中的1的个数x >>= 4;}from++;}// 输出结果printf("%d\n", count);}return 0;
}

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