月之数

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Problem Description
当寒月还在读大一的时候，他在一本武林秘籍中（据后来考证，估计是计算机基础，狂汗-ing），发现了神奇的二进制数。
如果一个正整数m表示成二进制，它的位数为n（不包含前导0），寒月称它为一个n二进制数。所有的n二进制数中，1的总个数被称为n对应的月之数。
例如，3二进制数总共有4个，分别是4（100）、5（101）、6（110）、7（111），他们中1的个数一共是1＋2＋2＋3=8，所以3对应的月之数就是8。
Input
给你一个整数T，表示输入数据的组数，接下来有T行，每行包含一个正整数 n（1<=n<=20）。
Output
对于每个n ，在一行内输出n对应的月之数。
Sample Input
3 1 2 3
Sample Output
1 3 8
该题题义简单，是求一个二进制数的区间内，1的个数，不知到有木有更好的办法，写这道题时想到的就是一个组合问题。
比如要求一个4二进制数的月之数是多少，由于第一位必须为1，所以有多少个3位的二进制数，就有多少个高位1，后面的就是从N-1个里面选一个，两个...... 这样的组合数，在具体计算过程中还要考虑奇偶性。
代码如下： 
 1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdlib> 4 using namespace std; 5  6 long long mix( long long n, long long m ) 7 { 8     long long res = 1; 9     for( long long i = 0; i < m; ++i )10     { // 一直用这个学来的方法来防止溢出11         res *= ( n - i );12         res /= ( i + 1 );13     }14     return res;15 }16 17 int main()18 {19     int T;20     scanf( "%d", &T );21     while( T-- )22     {23         long long N, ans = 1;24         scanf( "%I64d", &N );25         for( long long i = 1; i <= N - 1; ++i )26         {27             ans <<= 1;28         }    29         if( ! ( N & 1 ) )30         {31             int lim = N / 2 - 1;32             for( long long i = 1; i <= lim; ++i )33             {34                 ans += ( N - 1 ) * mix( N - 1, i );35             }36             ans += ( N - 1 );37         }38         else39         {40             int lim = ( N - 1 ) / 2;41             for( long long i = 1; i < lim; ++i )42             {43                 ans += ( N - 1 ) * mix( N - 1, i );44             } 45             ans += ( N - 1 ) / 2 * mix( N - 1, ( N - 1 ) / 2 ); 46             ans += ( N - 1 ); 47         }48         printf( "%I64d\n", ans );49     }50     return 0;51 }

　　突然想到用移位判定奇偶来统计1的个数，现在就去试试看。

　　上面的这种方法也能过，代码量下来了，但是速度慢了 78MS， 前面的是0MS。代码如下：

 1 #include <cstring> 2 #include <cstdlib> 3 #include <cstdio> 4 using namespace std; 5  6 int main() 7 { 8     int T; 9     scanf( "%d", &T );10     while( T-- )11     {12         int N, beg = 1, end = 1, ans = 0;13         scanf( "%d", &N );14         for( int i = 1; i < N; ++i )15             beg <<= 1, end <<= 1;16         end <<= 1, end -= 1;17         for( int i = beg; i <= end; ++i )18         {19             int t = i;20             while( t > 0 )21             {22                 if( t & 1 )23                     ++ans;24                 t >>= 1;25             }26         }27         printf( "%d\n", ans );28     }29     return 0;30 }

　　还有一种递推解法，个人觉得很好很强大。 代码如下：

 1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdlib> 4 using namespace std; 5  6 int ans[22], base = 1; 7  8 int main() 9 {10     ans[1] = 1;11     for( int i = 2; i <= 20; ++i )12     {13         ans[i] = 2 * ans[i-1] + base;14         base <<= 1;15     }16     int T;17     scanf( "%d", &T );18     while( T-- )19     {20         int N;21         scanf( "%d", &N );22         printf( "%d\n", ans[N] );23     }24     return 0;25 }

　　

转载于:https://www.cnblogs.com/Lyush/archive/2011/08/28/2156753.html

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