数论基础——欧拉函数（一）

定义

对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

通式

φ(n)=n×(1−1/p1)×(1−1/p2)×(1−1/p3)×...×(1−1/pn)\varphi(n)=n\times(1-1/p_1)\times(1-1/p_2)\times(1-1/p_3)\times...\times(1-1/p_n)φ(n)=n×(1−1/p1)×(1−1/p2)×(1−1/p3)×...×(1−1/pn)
即：φ(n)=n×∏i=1npi−1pi\varphi(n)=n\times\prod_{i=1}^{n}{\frac{p_i-1}{p_i}}φ(n)=n×∏i=1npipi−1
p1、p2、p3...pnp_1、p_2、p_3...p_np1、p2、p3...pn是n（n>0）的质因数.
注意：φ(1)=1\varphi(1)=1φ(1)=1.

代码

ll eular(ll n)
{ll ans = n;for(int i=2; i*i <= n; i++){if(n%i == 0)//i是质因数{ans = ans/i*(i-1);while(n%i == 0)//确保不会出现合数因子n/=i;}}if(n > 1) ans = ans/n*(n-1);//因为i是从2开始，所以上面的循环无法判断n是素数的情况，因此在这加个判断return ans;
}

性质

1.若p为质数，φ(p)=p−1\varphi(p)=p-1φ(p)=p−1

2.若m,n互质，则φ(m×n)=φ(m)×φ(n)\varphi(m\times n)=\varphi(m)\times\varphi(n)φ(m×n)=φ(m)×φ(n)

3.若n=pk(p是质数)n=p^k(p是质数)n=pk(p是质数)，则φ(n)=(p−1)×pk−1\varphi(n)=(p-1)\times p^{k-1}φ(n)=(p−1)×pk−1

4.欧拉定理：对于互质的m、n，有nφ(m)≡1(modm)n^{\varphi(m)}≡1(mod m)nφ(m)≡1(modm)

5.费马小定理：对于质数p
若n mod p = 0 ，则 φ(n×p)=φ(n)×pφ(n\times p)=φ(n)\times pφ(n×p)=φ(n)×p
若n mod p ≠ 0 ，则φ(n×p)=φ(n)×(p−1)φ(n\times p)=φ(n)\times (p-1)φ(n×p)=φ(n)×(p−1)

6.小于n且与n互质的数的和：S=n×φ(n)2S=n\times \frac{\varphi(n)}{2}S=n×2φ(n)

7.n=∑d∣nφ(d)n=∑_{d|n}φ(d)n=∑d∣nφ(d)
注： (d|n)指n是d的倍数

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