出题人的解题思路：

GTW likes function

由打表找规律可得，\sum_{k=0}^{x}(-1)^{k}2^{2x-2k}C_{2x-k+1}^{k}=x+1∑​k=0​x​​(−1)​k​​2​2x−2k​​C​2x−k+1​k​​=x+1，所以显然f_n(x)=n+x+1f​n​​(x)=n+x+1，因此直接求\varphi(n+x+1)φ(n+x+1)。时间效率O(T\sqrt{n})O(T√​n​​​)

严格证明：

设a_n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k2^{2n-2k}C_{2n-k+1}^ka​n​​=∑​k=0​n​​(−1)​k​​2​2n−2k​​C​2n−k+1​k​​

a_n=2^{2n}+\sum_{k=1}^{n}(-1)^k2^{2n-2k}(C_{2n-k}^k+C_{2n-k}^{k-1})=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k2^{2n-2k}C_{2n-k}^k+\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k+1}2^{2(n-1)-2k}C_{2(n-1)-k+1}^ka​n​​=2​2n​​+∑​k=1​n​​(−1)​k​​2​2n−2k​​(C​2n−k​k​​+C​2n−k​k−1​​)=∑​k=0​n​​(−1)​k​​2​2n−2k​​C​2n−k​k​​+∑​k=0​n−1​​(−1)​k+1​​2​2(n−1)−2k​​C​2(n−1)−k+1​k​​

设b_n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k2^{2n-2k}C_{2n-k}^kb​n​​=∑​k=0​n​​(−1)​k​​2​2n−2k​​C​2n−k​k​​，则b_n=a_n+a_{n-1}b​n​​=a​n​​+a​n−1​​

b_n=2^{2n}+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k2^{2n-2k}(C_{2n-k-1}^k+C_{2n-k-1}^{k-1})+(-1)^nb​n​​=2​2n​​+∑​k=1​n−1​​(−1)​k​​2​2n−2k​​(C​2n−k−1​k​​+C​2n−k−1​k−1​​)+(−1)​n​​

=4\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k2^{2(n-1)-2k}C_{2(n-1)-k+1}^k+\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k+1}2^{2(n-1)-2k}C_{2(n-1)-k}^k=4∑​k=0​n−1​​(−1)​k​​2​2(n−1)−2k​​C​2(n−1)−k+1​k​​+∑​k=0​n−1​​(−1)​k+1​​2​2(n−1)−2k​​C​2(n−1)−k​k​​

=4a_n-b_{n-1}=4a​n​​−b​n−1​​

得a_n-a_{n-1}=a_{n-1}-a_{n-2}a​n​​−a​n−1​​=a​n−1​​−a​n−2​​。因为a_0=1,a_1=1a​0​​=1,a​1​​=1，所以a_n=n+1a​n​​=n+1

证明比较费时，打表找规律能很快的得出解，所以本题的关键在于打表找规律。

一开始觉得这题有毒,谁都知道应该要先求出fn(x)的值,但是求这个是难点,但是没办法,该求的还是得求,于是将样例中的几组求了一下(比较傻,没想到打表)

故可大胆猜测出

然后用一下欧拉函数的模板就ok了

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<queue>
#include<stack>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define exp 1e-10
using namespace std;
const int N = 50005;
const int M = 710;
const int inf = 1000000000;
const int mod = 1000000007;
__int64 euler(__int64 n)
{__int64 ans=1;__int64 i;for(i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0){n/=i;ans*=i-1;while(n%i==0){n/=i;ans*=i;}}}if(n>1)ans*=n-1;return ans;
}
int main()
{__int64 n,x;while(~scanf("%I64d%I64d",&n,&x))printf("%I64d\n",euler(n+x+1));return 0;
}

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