058.克鲁斯卡尔(Kruskal)算法的原理以及解决最小生成树问题

1. 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法的原理
- 1.1. 算法应用场景-公交站问题
- 1.2. 算法基本介绍
- 1.3. 算法图解说明
  - 1.3.1. 最小连通子图的概念说明
  - 1.3.2. 构建最小连通子图的步骤
  - 1.3.3. 算法的关键步骤分析
  - 1.3.4. 对回路的概念和判断的说明
2. 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法的实现
- 2.1. 边类
- 2.2. 算法类
- 2.3. 测试结果

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1. 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法的原理

1.1. 算法应用场景-公交站问题

某市新增 7 个站点 {'A','B','C','D','E','F','G'}, 现要把 7 个站点连通.
各个站点的距离用边线表示(权), 比如 A-B 距离 12 公里.
如何修路保证各个站点都能连通, 并且修建的公路总里程最短?
本质上依旧是最小生成树问题.

1.2. 算法基本介绍

克鲁斯卡尔算法, 是用来求加权连通图的最小生成树的算法.
基本思想:
按照权值从小到大的顺序选择 n-1 条边, 并保证这些边不构成回路.
具体做法:
首先构造一个只含 n 个顶点的森林,
根据权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中,
并使森灵中不产生回路, 直至森林变成一棵树为止.

1.3. 算法图解说明

1.3.1. 最小连通子图的概念说明

在含有 n 个顶点的连通图中选择 n-1 条边, 构成极小连通子图,
并使该连通子图中 n-1 条边上的权值之和最小, 称为最小生成树.

如上图所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树.

1.3.2. 构建最小连通子图的步骤

以上图为例, 来对克鲁斯卡尔进行演示(假设, 用数组 R 保存最小生成树结果).

第1步: 将边 <E,F> 加入 R 中.
边 <E,F> 的权值最小, 因此将它加入到最小生成树结果R中.

第2步: 将边 <C,D> 加入 R 中.
上一步操作之后, 边 <C,D> 的权值最小, 因此将它加入到最小生成树结果 R 中.

第3步: 将边 <D,E> 加入 R 中.
上一步操作之后, 边<D,E>的权值最小, 因此将它加入到最小生成树结果R中.

第4步: 将边<B,F>加入R中.
上一步操作之后, 边<C,E>的权值最小, 但<C,E>会和已有的边构成回路;
因此, 跳过边<C,E>. 同理, 跳过边<C,F>.
将边<B,F>加入到最小生成树结果R中.

第5步: 将边<E,G>加入R中.
上一步操作之后, 边<E,G>的权值最小, 因此将它加入到最小生成树结果R中.

第6步: 将边<A,B>加入R中.
上一步操作之后, 边<F,G>的权值最小, 但<F,G>会和已有的边构成回路;
因此, 跳过边<F,G>. 同理，跳过边<B,C>.
将边<A,B>加入到最小生成树结果R中.
此时, 最小生成树构造完成.
它包括的边依次是: <E,F>, <C,D>, <D,E>, <B,F>, <E,G>, <A,B>.

1.3.3. 算法的关键步骤分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法,
可知克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题:
- 问题一: 对图的所有边按照权值大小进行由小到大的排序.
- 问题二: 将边添加到最小生成树中时, 如何判断是否形成回路.
问题一处理方式:
- 采用排序算法进行排序即可.
问题二处理方式:
- 记录顶点在最小生成树中的终点,
  顶点的终点是在最小生成树中与它连通的最大顶点.
- 然后每次需要将一条边添加到最小生存树时,
  判断该边的两个顶点的终点是否重合, 重合则会构成回路.

1.3.4. 对回路的概念和判断的说明

将 <E,F> <C,D> <D,E> 加入到最小生成树后, 这几条边的顶点就有了终点:
- C的终点是F
- D的终点是F
- E的终点是F
- F的终点是F
终点就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后;
这里按照 char 值进行排序, 因此这几个点最大的是 F.
所以某个顶点的终点就是与它连通的最大顶点.
因此, 接下来要添加的下一条边的选择中:
虽然 <C,E> 是权值最小的边, 但是 C 和 E 的终点都是 F, 即它们的终点相同,
因此, 将 <C,E> 加入最小生成树的话, 会形成回路. 这就是判断回路的方式.
判断回路的方式就是:
在加入的边中的两个顶点, 它们不能指向同一个终点, 否则会构成回路.

2. 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法的实现

实现细节在注释中

2.1. 边类

package com.leo9.dc38.kruskal_algorithm;//创建一个边的类, 它的对象实例就表示一条边
public class SideData {//定义边的两个端点char start_point;char end_point;//定义边的权值int side_weight;public SideData(char start_point, char end_point, int side_weight) {this.start_point = start_point;this.end_point = end_point;this.side_weight = side_weight;}@Overridepublic String toString() {return "<" + start_point +", " + end_point +"> = " + side_weight;}
}

2.2. 算法类

package com.leo9.dc38.kruskal_algorithm;import java.util.Arrays;public class KruskalAlgorithm {//定义边的数量private int side_num;//定义顶点值的数组private char[] vertex_data;//定义邻接矩阵private int[][] graph_matrix;//使用Integer的最大值来表示两点不连通, 即类似无穷远距离private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;public static void main(String[] args) {char[] vertex_data = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};int[][] graph_matrix = {/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*//*A*/ {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},/*B*/ {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},/*C*/ {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},/*D*/ {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},/*E*/ {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},/*F*/ {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},/*G*/ {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};KruskalAlgorithm algorithm_case = new KruskalAlgorithm(vertex_data, graph_matrix);algorithm_case.showMatrix();SideData[] mst_res = algorithm_case.getMST();System.out.println("\n============show the MST=============");showSide(mst_res);}//定义构造函数public KruskalAlgorithm(char[] vertex_data, int[][] graph_matrix) {//定义变量获取顶点数int vertex_num = vertex_data.length;//初始化顶点, 采用值传递的方式this.vertex_data = new char[vertex_num];for (int i = 0; i < vertex_num; i++) {this.vertex_data[i] = vertex_data[i];}//初始化边, 依然采用值传递方式this.graph_matrix = new int[vertex_num][vertex_num];for (int i = 0; i < vertex_num; i++) {for (int j = 0; j < vertex_num; j++) {this.graph_matrix[i][j] = graph_matrix[i][j];}}//统计边的数量, 因为是无向图, 获取一半的边就可以了for (int i = 0; i < vertex_num; i++) {for (int j = i + 1; j < vertex_num; j++) {if (graph_matrix[i][j] != INF) {side_num++;}}}}//定义显示矩阵的方法public void showMatrix() {System.out.println("\n==========show matrix===========");for (int i = 0; i < 7; i++) {if (i == 0) {System.out.printf("%6c    ", 'A' + i);} else {System.out.printf("%-5c", 'A' + i);}}System.out.println();int index = 0;for (int[] row : graph_matrix) {System.out.printf("%-5c", 'A' + index);index++;for (int data : row) {if (data == INF) {System.out.printf("%-5s", "INF");} else {System.out.printf("%-5d", data);}}System.out.println();}}//定义方法对边进行排序, 传入的是边的集合private static void sortSide(SideData[] sides) {for (int i = 0; i < sides.length; i++) {for (int j = 0; j < sides.length - 1 - i; j++) {if (sides[j].side_weight > sides[j + 1].side_weight) {SideData tmp = sides[j];sides[j] = sides[j + 1];sides[j + 1] = tmp;}}}}private static void showSide(SideData[] sides) {int count = 0;for (int i = 0; i < sides.length; i++) {System.out.printf("%-15s", sides[i]);count++;if (count == 3) {System.out.println();count = 0;}}}//定义方法返回传入顶点的下标, 找到则返回数组下标, 否则返回-1.private int getPosition(char vertex) {for (int i = 0; i < vertex_data.length; i++) {if (vertex_data[i] == vertex) {return i;}}return -1;}//定义方法获取图中的边, 放到边数组当中, 后续需要遍历该数组private SideData[] getSides() {//定义一个索引来给边数组遍历时进行使用int index = 0;//定义边数组SideData[] sides = new SideData[side_num];//循环遍历邻接矩阵, 获取边, 也是获取一半的就可以了for (int i = 0; i < vertex_data.length; i++) {for (int j = i + 1; j < vertex_data.length; j++) {if (graph_matrix[i][j] != INF) {sides[index++] = new SideData(vertex_data[i], vertex_data[j], graph_matrix[i][j]);}}}return sides;}//定义方法获取下标为 i 的顶点的终点//用于后面进行判断两个顶点的终点是否相同而形成回路//ends[]数组是记录下标为 i 的顶点所对应的终点, 顶点数组和ends[]数组共用一套下标//递归遍历终点, 取的该顶点连通的边的最终点, 返回最终点下标, 若点未被连通返回点本身private int getVertexEnd(int[] ends, int i) {while (ends[i] != 0) {i = ends[i];}return i;}private SideData[] getMST() {//表示最终结果数组的索引int index = 0;//用于保存已有最小生成树中的每个顶点在最小生成树中的终点int[] ends = new int[side_num];//创建最终结果数组. 用于保存最小生成树.SideData[] mst_res = new SideData[vertex_data.length - 1];//获取图中所有边的集合, 并从小到大排序SideData[] sides = getSides();sortSide(sides);//输出当前图的边的集合System.out.println("\n============show graph's sides============");showSide(sides);//开始遍历边集合sides, 进行逐步构造最小生成树并判断即将加入的边是否构成回路for (int i = 0; i < side_num; i++) {//获取到第i条边的第一个顶点, 即边的起点int p1 = getPosition(sides[i].start_point);//获取到第i条边的第二个顶点, 即边的终点int p2 = getPosition(sides[i].end_point);//获取p1,p2两个顶点在已有的最小生成树中的终点int end_p1 = getVertexEnd(ends, p1);int end_p2 = getVertexEnd(ends, p2);//判断是否会构成回路if(end_p1 != end_p2){//如果没有构成回路, 则设置p1的终点为p2ends[end_p1] = end_p2;//同时将这条边加入最小生成树当中mst_res[index++] = sides[i];}}//最终返回最小生成树集合return mst_res;}
}

2.3. 测试结果

显而易见, 结果正确

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