一.问题引入

1.问题引入

1)某城市新增7个站点(A,B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个站点连通

2)各个站点的距离用边线表示(权)，比如A-B距离12公里

3)问:如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

二.克鲁斯卡尔算法

1.基本介绍

1)克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
2)基本思想:按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并确定这n-1条边不构成回路
3)具体做法:首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网
中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

2.思路分析

在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。

例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

第一步:

第二步:

第三步:

第四步:

第五步:

第六步:

3.问题分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题:
问题一:对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二:将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二的处理方式是:记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

4.判断构成回路图解

在将<E,F><C,D><D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点:
(01)C的终点是F。

(02)D的终点是F。

(03)E的终点是F。

(04)F的终点是F。

关于终点的说明:
1)就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后;某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
2)因此，接下来，虽然<C.E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即
它们的终点相同，因此,将<C,E>加入最小生成树的话,会形成回路,这就是判断回路的方式.也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点,否则将构成回路。

5.代码实现

public class Kruskal {public int edgeNum; //边的个数public char[] vertex; //顶点数组public int[][] matrix; //public static void main(String[] args) {char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};int[][] matrix = new int[][]{{0, 12, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 16, 14},{12, 0, 10, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 7, Integer.MAX_VALUE},{Integer.MAX_VALUE, 10, 0, 3, 5, 6, Integer.MAX_VALUE},{Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 3, 0, 4, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE},{Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 5, 4, 0, 2, 8},{16, 7, 6, Integer.MAX_VALUE, 2, 0, 9},{14, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 8, 9, 0}};Kruskal kruskal = new Kruskal(vertex, matrix);kruskal.showGraph();System.out.println(kruskal.edgeNum);EdgeData[] edges = kruskal.getEdges();kruskal.sortEdges(edges);for (EdgeData edge : edges) {System.out.println(edge);}System.out.println("------------------------");kruskal.kruskal();}public Kruskal(char[] vertex, int[][] matrix) {//初始化顶点数和边的个数this.vertex = vertex;this.matrix = matrix;//统计边的条数for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {for (int j = i + 1; j < vertex.length; j++) {if (matrix[i][j] != Integer.MAX_VALUE)edgeNum++;}}}public void showGraph() {for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {for (int j = 0; j < vertex.length; j++) {System.out.printf("%-12d", matrix[i][j]);}System.out.println();}}//对边进行排序处理public void sortEdges(EdgeData[] edges) {Arrays.sort(edges);}//返回顶点的下标,如'A'-->0,找不到返回-1public int getPosition(char c) {for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {if (c == vertex[i]) {return i;}}return -1;}//获取到图中的边,放到EdgeData[]数组中,通过int[][] matrix获取public EdgeData[] getEdges() {int index = 0;EdgeData[] edges = new EdgeData[edgeNum];for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {for (int j = i + 1; j < vertex.length; j++) {if (matrix[i][j] != Integer.MAX_VALUE) {edges[index++] = new EdgeData(vertex[i], vertex[j], matrix[i][j]);}}}return edges;}/*** 功能:获取下标为i的顶点的终点,用于后面判断两个顶点的终点是否相等** @param ends 数组记录了各个顶点的终点,ends数组是在遍历过程中逐渐形成的* @param i* @return 返回下标为i的终点*/public int getEnd(int[] ends, int i) {while (ends[i] != 0) {i = ends[i];}return i;}//public void kruskal() {int index = 0;int[] ends = new int[edgeNum];//表示已有生成树//创建结果数组,保存最小生成树ArrayList<EdgeData> result = new ArrayList<>();//获取图中所有边的集合EdgeData[] edges = getEdges();//按照权值,从小到大排序sortEdges(edges);//遍历edges数组,将边添加到最小生成树,并判断是否构成回路,如果没有,就加入for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {//获取第i条边的起点int start = getPosition(edges[i].start);//获取第i条边的终点int end = getPosition(edges[i].end);//获取start顶点在最小生成树的终点int end1 = getEnd(ends, start);//获取end顶点在最小生成树的终点int end2 = getEnd(ends, end);//判断是否构成回路if (end1 != end2) {//没有构成回路ends[end1] = end2;result.add(edges[i]);//此边加入到数组中}}//输出最小生成树System.out.println(result);}}class EdgeData implements Comparable<EdgeData> {char start;  //边的起点char end;//边的终点int weight;  //边的权值public EdgeData(char start, char end, int weight) {this.start = start;this.end = end;this.weight = weight;}@Overridepublic String toString() {return "EdgeData{" +"<" + start +", " + end +"> weight=" + weight +'}';}@Overridepublic int compareTo(EdgeData o) {return this.weight - o.weight;}
}

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