一，应用场景

公交站问题

1）某城市新增7个站点(A,B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个站点连通
2）各个站点的距离用边线表示（权），比如 A - B距离12公里
3）问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短？

二，基本介绍

1）克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
2）**基本思想：**按照权值从小到大的顺序选择n - 1条边，并保证这 n - 1条边不构成回路。
2）**具体做法：**首先构造一个只含有n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林不产生回路，直至森林变成一颗树为止。

三，思路图解

1）寻找取值最小的边，选取<E,F>

2）寻找剩余的权值最小的边，选取<C,D>

3）寻找剩余的权值最小的边，选取<D,E>

4）寻找剩余的权值最小的边，找到<C,E>，发现构成回路，所以不选取

如上图，C,D,E三点彩色连线构成了回路
5）寻找剩余的权值最小的边，找到<C,F>，发现构成回路，所以不选取
6）寻找剩余的权值最小的边，选取<E,G>

7）寻找剩余的权值最小的边，选取<B,C>

8）寻找剩余的权值最小的边，选取<A,B>

四，难点所在

1.难点

将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

2.处理方式

记录顶点在“最小生成树”中的终点，顶点的终点是“在最小生成树中与它连通的最大顶点”，如果没有加入最小生成树中则没有终点或者是自己。然后每次需要将一条边添加到最小生成树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路

3.终点说明

在<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R之后，这几条边的顶点就都有了终点：
C的终点是F。
D的终点是F。
E的终点是F。
F的终点是F。
1）就是将所有顶点按照从大到小的顺序（下标）排序好之后；某个顶点的终点就是“与它连通的最大顶点”。
2）因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即他们的终点相同，将<C,E>加入到最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方法。也就是说，我们加入的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

五，代码实现

package com.algorithm.kruskalCase;import java.util.Arrays;public class KruskalCase {private int edgeNum; //边的个数private char[] vertexs; //顶点数组private int[][] matrix; //邻接矩阵//使用INF 表示两个顶点不能连通private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;public static void main(String[] args) {char[] vertexs = {'A','B','C','D','E','F','G'};//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵int matrix[][] = {{0,12,INF,INF,INF,16,14},{12,0,10,INF,INF,7,INF},{INF,10,0,3,5,6,INF},{INF,INF,3,0,4,INF,INF},{INF,INF,5,4,0,2,8},{16,7,6,INF,2,0,9},{14,INF,INF,INF,8,9,0}};//创建KruskalCase对象实例KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs,matrix);kruskalCase.print();EData[] edges = kruskalCase.getEdges();System.out.println("排序前 = " + Arrays.toString(edges));kruskalCase.sortEdges(edges);System.out.println("排序后 = " + Arrays.toString(edges));kruskalCase.kruskal();}//构造器public KruskalCase(char[] vertexs,int[][] matrix) {//初始化顶点数和边的个数int vlen = vertexs.length;//初始化顶点,复制拷贝的方式this.vertexs = new char[vlen];for (int i = 0;i < vertexs.length;i++) {this.vertexs[i] = vertexs[i];}//初始化边,使用的是复制拷贝的方式this.matrix = new int[vlen][vlen];for (int i = 0;i < vlen;i++) {for (int j = 0;j < vlen;j++) {this.matrix[i][j] = matrix[i][j];}}//统计边for (int i = 0;i < vlen;i++) {for (int j = i + 1;j < vlen;j++) {if (this.matrix[i][j] != INF) {edgeNum++;}}}}public void kruskal() {int index = 0; //表示最后结果数组的索引int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存“已存最小生成树”中的每个顶点在最小生成树中终点//创建结果数组，保存最后的最小生成树EData[] rets = new EData[edgeNum];//获取图中所有的边的集合，一共有12边EData[] edges = getEdges();System.out.println("图的边的集合 = " + Arrays.toString(edges) + " 共 " + edges.length);//按照边的权值大小进行排序(从小到大)sortEdges(edges);//遍历edges数组，将边添加到最小生成树中，判断准备加入的边是否形成回路，如果没有，就加入rets，否则不能加入for (int i = 0;i < edgeNum;i++) {//获取到第i条边的第一个顶点(起点)int p1 = getPosition(edges[i].start);//获取到第i条边的第二个顶点int p2 = getPosition(edges[i].end);//获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点int m = getEnd(ends,p1);//获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点int n = getEnd(ends,p2);//是否构成回路if (m != n) { //没有构成回路ends[m] = n; //设置m在已有最小生成树中的终点rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组}}//统计并打印"最小生成树"，输出retsSystem.out.println("最小生成树 = " + Arrays.toString(rets));}//打印邻接矩阵public void print() {System.out.println("邻接矩阵为：\n");for (int i = 0;i < vertexs.length;i++) {for (int j = 0;j < vertexs.length;j++) {System.out.printf("%15d\t",matrix[i][j]);}System.out.println();}}//对边进行排序处理，冒泡排序private void sortEdges(EData[] edges) {for (int i = 0;i < edges.length - 1;i++) {for (int j = 0;j <edges.length - 1 - i;j++) {if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) { //交换EData tmp = edges[j];edges[j] = edges[j + 1];edges[j + 1] = tmp;}}}}/**** @param ch 顶点的值，比如'A','B'* @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回 - 1*/private int getPosition(char ch) {for (int i = 0;i < vertexs.length;i++) {if (vertexs[i] == ch) { //找到return i;}}//找不到，返回-1return -1;}/*** 功能 获取图中边，放到EData[]数组中，后面我们需要遍历该数组* 是通过matrix 邻接矩阵* EData[] 形式 [['A','B',12],['B','F',7],......]* @return*/private EData[] getEdges() {int index = 0;EData[] edges = new EData[edgeNum];for (int i = 0;i < vertexs.length;i++) {for (int j = i + 1;j < vertexs.length;j++) {if (matrix[i][j] != INF) {edges[index++] = new EData(vertexs[i],vertexs[j],matrix[i][j]);}}}return edges;}/*** 功能：获取下标为i的终点，用于后面判断两个顶点的终点是否相同* @param ends 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个，ends 数组是在遍历过程中，逐步形成* @param i 表示传入的顶点对应的下标* @return 返回的就是下标为i的这个顶点对应的终点的下标*/private int getEnd(int[] ends,int i) {while (ends[i] != 0) {i = ends[i];}return i;}
}
//创建一个类EData,它的对象实例就表示一条边
class EData {char start; //边的一个点char end;   //边的另外一个点int weight; //边的权值//构造器public EData(char start,char end,int weight) {this.start = start;this.end = end;this.weight = weight;}@Overridepublic String toString() {return "EData{<"+ start +"," + end +"> weight=" + weight +'}';}
}

六，运行结果

与手动计算结果一致，所以代码正确。

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