7、最小生成树,克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

1）算法的基本思想：

前面我们学习过Prim算法，他是一种以某个节点出发，按权值递增的次序选择合适的边来构造最小生成树的方法，他的时间复杂度为O(n2)，与顶点有关，而与边无边，所以适合求边稠密的图的生成树。

算法构造一颗最小生成树的过程如下（母图基于Prim算法部分的无向图）：

2）算法的描述：

在图中任取一个顶点K作为开始点，令U={k}，W=V-U，其中V为图中所有顶点集，然后找一个顶点在U中，另一个顶点在W中的边中最短的一条，找到后，将该边作为最小生成树的树边保存起来，并将该边顶点全部加入U集合中，并从W中删去这些顶点，然后重新调整U中顶点到W中顶点的距离, 使之保持最小，再重复此过程，直到W为空集止。

假设G=（V，E）是一个具有n个顶点的带权无向连通图，T= (U，TE)是G的最小生成树，其中U是T的顶点集，TE是T的边集，则构造最小生成树的过程如下：

(1) 置U的初值等于V，TE的初值为空集；

(2) 按权值从小到大的顺序依次选取图G中的边，若选取的边未使生成树T形成回路，则加入TE；若选取的边使生成树T形成回路，则将其舍弃。循环执行(2)，直到TE中包含(n-1)条边为止。

3）C语言描述：

为实现克鲁斯卡尔算法需要设置一维辅助数组E，按权值从小到大的顺序存放图的边，数组的下标取值从0到e-1（e为图G边的数目）。

假设数组E存放图G中的所有边，且边已按权值从小到大的顺序排列。n为图G的顶点个数，e为图G的边数。克鲁斯卡尔算法如下：

#define MAXE <最大边数>

#define MAXV <最大顶点数>

typedef struct

{

int vex1; //边的起始顶点

int vex2; //边的终止顶点

int weight; //边的权值

}Edge;

Voidkruskal(Edge E[],int n,int e)

{ inti,j,m1,m2,sn1,sn2,k;

int vset[MAXV];

for(i=0;i<n;i++) //初始化辅助数组

vset[i]=i;

k=1; //表示当前构造最小生成树的第k条边，初值为1

j=0; //E中边的下标，初值为0

while(k<e) //生成的边数小于e时继续循环

{ ml=E[j].vex1;m2=E[j].vex2;//取一条边的两个邻接点

sn1=vset[m1];sn2=vset[m2];

//分别得到两个顶点所属的集合编号

if(sn1!=sn2)

//两顶点分属于不同的集合，该边是最小生成树的一条边

{ printf(“(m1，m2)：％d＼n”,E[j].weight);

k++; //生成边数增l

for(i=0;i<n;i++) //两个集合统一编号

if (vset[i]=sn2) //集合编号为sn2的改为sn1

vset[i]=sn1;

}

j++; //扫描下一条边

}

4)C语言完整实现

#defineMAXE 11

#defineMAXV 10

#include"stdio.h"

typedefstruct

{

intvex1; //边的起始顶点

intvex2; //边的终止顶点

intweight; //边的权值

}Edge;

void kruskal(Edge E[],int n,int e)

{ int i,j,m1,m2,sn1,sn2,k;

intvset[MAXV];

for(i=1;i<=n;i++) //初始化辅助数组

vset[i]=i;

k=1; //表示当前构造最小生成树的第k条边，初值为1

j=0; //E中边的下标，初值为0

while(k < e) //生成的边数小于e时继续循环

{

m1=E[j].vex1;

m2=E[j].vex2;//取一条边的两个邻接点

sn1=vset[m1];

sn2=vset[m2];

//分别得到两个顶点所属的集合编号

if(sn1!=sn2)

//两顶点分属于不同的集合，该边是最小生成树的一条边

{

printf("(v%d,v%d):%d\n",m1,m2,E[j].weight);

k++; //生成边数增l

if(k>=6) break;

for(i=1;i<=n;i++) //两个集合统一编号

if(vset[i]==sn2) //集合编号为sn2的改为sn1

vset[i]=sn1;

}//if

j++; //扫描下一条边

}//while

}//kruskal

intmain()

{

EdgeE[MAXE];

intnume,numn;

//printf("输入边数和顶数:\n");

//scanf("%d%d",&nume,&numn);

nume=10;

numn=6;

printf("请输入各边及对应的的权值(起始顶点终止顶点权值)\n");

for(inti=0;i<nume;i++)

scanf("%d%d%d",E[i].vex1,E[i].vex2,E[i].weight);

//在这里对输入的数据进行排序，达到假设的要求，即：假设数组E存放图G中的

//所有边，且边已按权值从小到大的顺序排列

E[9].vex1=1;

E[9].vex2=2;

E[9].weight=6;

E[0].vex1=1;

E[0].vex2=3;

E[0].weight=1;

E[4].vex1=1;

E[4].vex2=4;

E[4].weight=5;

E[6].vex1=2;

E[6].vex2=3;

E[6].weight=5;

E[2].vex1=2;

E[2].vex2=5;

E[2].weight=3;

E[8].vex1=1;

E[8].vex2=2;

E[8].weight=6;

E[5].vex1=3;

E[5].vex2=4;

E[5].weight=5;

E[7].vex1=3;

E[7].vex2=5;

E[7].weight=6;

E[3].vex1=3;

E[3].vex2=6;

E[3].weight=4;

E[1].vex1=4;

E[1].vex2=6;

E[1].weight=2;

kruskal(E,numn,nume);

}

5）以上我们只是作抛砖引玉。比如节点的数量，边的数量，都可以根据实际情况来增减。

最小生成树在实际生活中主要用来解决生活中的优化问题。比如在几个大城市间修建路，如何修才能省时省力等。

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